Fraktal labirentin karar verilebilirliği

Fraktal labirent, kendi kopyalarını içeren bir labirenttir. Örneğin, bu makaleden Mark JP Wolf tarafından verilen aşağıdakiler :

EKSİ'den başlayın ve ARTI'ya gidin. Labirentin daha küçük bir kopyasını girerken, bu kopyayı çıkışta bırakmanız gerekeceğinden, bu kopyanın harf adını kaydettiğinizden emin olun. Girdiğiniz labirentin iç içe geçmiş her kopyasından çıkmanız ve bunları ters sırada girmeniz gerekir (örneğin: A girin, B girin, C girin, C çıkış yapın, B çıkış yapın, A çıkış yapın). Bunu bir dizi iç içe geçmiş kutu olarak düşünün. Yuvalanmış kopyadan çıkan çıkış yolu yoksa, çıkmaza ulaştınız. Yolları daha net hale getirmek için renk eklendi, ancak sadece dekoratif.

Bir çözüm varsa, en önce yapılan arama bir çözüm bulmalıdır. Ancak, labirent için bir çözüm olmadığını varsayalım - o zaman arama programımız sonsuza kadar daha derine iner.

Sorum şu: Bir fraktal labirent verildiğinde, bir çözümü olup olmadığını nasıl belirleyebiliriz?

Veya alternatif olarak, belirli bir boyuttaki fraktal labirent için (kopya başına giriş / çıkış sayısı), en kısa çözümün uzunluğunda bir sınır var mı? (eğer böyle bir sınır olsaydı, sadece o kadar derinlemesine arama yapabilirdik)

Sorunun karar verilebilir olduğunu kanıtlamak için hızlı bir gayri resmi algoritma:

• diyelim ki Giriş / Çıkış ;I 1 , . . . Ben $n$$I_1,...I_n$
• bir grafik oluşturmak her , ve düğümleridir, ve her iç içe geçmiş bir labirent yerine , bir ile alt grafiği (tam grafik); labirente göre arasındaki kenarları ekleyin ; tutmak "dış" karşılık gelen "iç" kenarları farklı kenarlar arasında tam bir alt grafiği olarak;I i M I N U S P L u S M j K , n I i , M bir N , U S , P L , U S , E j ı k M j ı ı → M j ı k I i → I k M $G$$I_i$$MINUS$$PLUS$$Mj$$K_n$$I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$$Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$$I_i \rightarrow I_k$$Mj$
• cinsinden MINUS ile PLUS arasındaki tüm yolları numaralandırın (döngülerden kaçının);$G$
• yuvalanmış bir kopyadan geçmeyen bir yol bulursanız, bu bir çözümdür; aksi takdirde her yolun iç içe labirentine her "iç" geçişini genişletin :$Mj$

İlk numaralandırmadaki bir yolun , yol varsa bir yol geçerli bir çözümdür adlı ve gelen orijinal labirent (grafik ).I i → I j I k → I h$MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$$I_i \rightarrow I_j$$I_k \rightarrow I_h$$G$

Biz gereken Yani genişletmek ve tüm yolları numaralandırılıyor dolaşımları için ve gelen için içinde . B I k → B I h I i I k I k I h$A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$$B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$$I_i$$I_k$$I_k$$I_h$$G$

Önceki bir aşamada zaten bulunan bir yolun genişlemesinde ile arasındaki tüm yolları numaralandırdığımızda sonsuz döngüler algılanır bazı alt boyutlar için (yalnızca olası genişletme vardır).$I_i$$I_k$$... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$$M$$n^2$

Yalnızca girişlerini / çıkışlarını içeren bir yol genişletmesi bulursak bir çözüm bulunur ; döngüler olmadan yolları daha fazla genişletemezsek, labirentin çözümü yoktur.$I_i$

Bu, sorumun bir "cevabı" değil, buradaki insanların ilginç bulabileceği genişletilmiş bir yorum.

Bir labirent ve çözümün doğal bir "analiz tipi" tanımı olduğunu ve burada kullandığımız bilgisayar-bilim / grafik-teorik tanımdan farklı olduğunu iddia ediyorum. Özellikle, analiz tanımı altında bir "çözümü" olan fraktal bir labirent olabilir, ancak Marizio De Biasi algoritması ve Peter Shor'un aşağı itme otomata tekniği ile çözülemez olarak ilan edilir.

Tanım: bir labirent düzleminin kompakt alt kümesi M ⊂ R 2 bir başlangıç noktası içeren bir uç nokta s , e ∈ E , sırasıyla. Bir çözelti, sürekli bir fonksiyonudur f : [ 0 , T ] → M bu şekilde f ( 0 ) = s ve f ( T ) = E .$M$$M \subset \mathbb{R}^2$$s,e \in M$$f:[0,T] \rightarrow M$$f(0)=s$$f(T)=e$

Şimdi Hilbert Eğrisi'ni düşünün :

Bu eğri, aşağıdaki diyagrama sahip bir "fraktal labirent" olarak yorumlanabilir:

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

Şimdi bunun Hiltal eğrisi tüm kareyi doldurduğundan fraktal labirentlerin ruhunda olmadığını ve bu nedenle başlangıçtan bitişe kadar düz bir çizgi parçası çizebileceğinizi iddia edebilirsiniz. Bu itiraz kolayca geçersiz kılınır - burada gösterildiği gibi doğrudan doğrudan hilbert eğrisi diyagramını kullanın:

Bu, Hilbert eğrisinin düzgün yakınsamasını göstermek için kullanılan aynı argümanla, başlangıçtan bitişe kadar tekdüze yakınsak sürekli yollar dizisini içerir. Ancak, tüm alanı doldurmaması anlamında gerçek bir "fraktal labirent" tir.

Böylece analitik tanım ile çözülebilen, ancak grafik teorik tanım ile çözülemeyen bir fraktal labirentimiz var ..!?

Her neyse, mantığımın doğru olduğundan eminim, ancak mantıksız görünüyor, bu yüzden eğer birisi buna ışık tutabilirse bunu takdir edeceğim.