Kuantum Hesaplama - KM'nin Postülaları

11

Nielsen-Chuang kitabından genel olarak kuantum hesaplamayı öğrenmeye (bağımsız) yeni başladım.

Kimsenin bana kuantum mekaniğinin ölçüm önermesinde neler olup bittiğine yardım etmek için zaman bulup bulamayacağını sormak istedim. Yani, önermeyi sorgulamaya çalışmıyorum; sadece ölçümden sonra sistem durumunun değerini nasıl elde edemiyorum ki $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ .

Her ne kadar postülatın söylediği gibi görünse de, bu ifadenin neden bu kadar garip olduğunu görüyorum. Burada sorduğum şeyin mantıklı olup olmadığını bilmiyorum, ama bu bir sebepten dolayı beni daha fazla okumamı engelleyen bir şey olduğunu kanıtlıyor,

quantum-computing quantum-information

— Akash Kumar
kaynak

1

Yazdığınız ifade,

M_{m} / \sqrt{< ψ | M_{m}^{+} M_{m} | ψ >}

$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ , hiç bir durum değildir. Sanırım bir

| ψ >

$|\psi>$ bundan sonra?

— Robin Kothari

Evet bu doğru. Bir

| ψ >

$|\psi>$ bundan sonra

— Akash Kumar

7

Hatalar fark ederseniz lütfen sorunuzu düzenleyin.

— Jukka Suomela

7

Bunun bir "açıklama" olup olmadığını bilmiyorum, ama umarım faydalı bir "açıklama" dır.

Projektif ölçümlerden daha genel olarak, kişi her zaman bir operatörü ölçer . (Bir projektör bunun özel bir durumudur.) Peki "bir operatörü ölçmek" ne anlama geliyor?

Operatörler genellikle 'gözlemlenebilir' fiziksel miktarlara karşılık gelir. Örneğin kuantum mekaniğinde en önemlisi enerjidir; fakat aynı zamanda (bazen dolaylı olarak) açısal momentum, manyetik alanların z bileşenleri vb. gibi diğer miktarları da ölçebilir . Ölçülen her zaman gerçek değerli sonuçlar verir - prensipte bazı kesin sonuçlar (örneğin bir elektron 'spin −1/2' yerine 'spin +1/2' durumunda veya bir hidrojen atomunda yer durumunun tersine ilk uyarılmış enerji seviyesinde, vb.), her biri a priori olası sonuç olsa da bir olasılıkla gerçekleşir.

Bir ölçümün gerçek değerli sonuçlarının her birini bir alt alana atarız. Bunu yapma şeklimiz, bir Hermitian operatörünü tanımlamaktır - yani , gerçek bir özdeğer ile farklı alt uzayları ilişkilendiren ve alt uzaylar tüm Hilbert uzayını toplayan bir operatör tanımlamaktır . Bir projektör, gerçek değerlerin 0 ve 1 olduğu böyle bir operatördür; yani bir vektörün, belirlenmiş bir alt uzaya (1 değerini veren) veya ortokomportuna (0 değerini veren) ait olduğunu tarif eder. Bu Hermityalı operatörler gözlemlenebilir niteliktedir ve eigensuzaylar gözlemlenebilir olanın "kesin" bir değere sahip olduğu yerlerdir.

Peki özvektör olmayan ve bu gözlemlenebilirler için "kesin" değerlere sahip olmayan vektörler ne olacak? İşte açıklamanın açıklamamayan kısmı: iyi tanımlanmış bir değere sahip bir özvektör elde etmek için bunları eigensuzlardan birine yansıtıyoruz. Hangi projeksiyonu uyguladığımız rastgele belirlenir. Olasılık dağılımı, bilinen Born kuralı ile verilir:

\underset{| ψ ⟩}{Pr} (E = c) = ⟨ ψ | Π_{c} | ψ ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$

burada bir 'gözlemlenebilir miktar' E'nin (bir Hermit operatörü temsil edilir) c- uzayı üzerine projektördür . Sonrası ölçülen halidir bazı devlet projeksiyonu üzerine bazı gözlenebilirin eigenspace A . Ve böylece ön ölçüm durumudur, ölçüm sonrası durumdur ve ölçülen 'gerçek sonuçtur ( yani ölçüm öncesi durumun gerçekte yansıtıldığı ), orantılılık sonucuna sahibiz $\Pi_c$ $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$ $|\psi\rangle$ $| \psi_0 \rangle$ $| \psi_1 \rangle$ $\Pi_c$

| ψ_{1} ⟩ \propto Π_{c} | ψ_{0} ⟩

$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$

tarif edilen projeksiyon kuralına göre. Bu yüzden formülünüzde projektör var.

Genel olarak, vektör bir birim vektör değil; ölçüm sonrası durumu başka bir birim vektörü ile tanımlamak istediğimizden, bunu yeniden ölçeklendirmeliyiz $| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

‖ | ψ_{1}^{'} ⟩ ‖ = \sqrt{⟨ ψ_{1}^{'} | ψ_{1}^{'} ⟩} = \sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩},

$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$

bu da sonucun a priori oluşma olasılığının kare köküdür . Ve böylece, sorunuzdaki formülü kurtarıyoruz,

| ψ_{1} ⟩ = \frac{Π_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$

(Bu formül biraz beceriksiz görünüyorsa, yoğunluk operatörleri tarafından kuantum durumlarını temsil ediyorsanız, göründüğünü ve biraz daha iyi hissettirdiğini düşünün.)

Eklemek için düzenlendi: yukarıdakiler POVM'lerin açıklaması olarak yorumlanmamalıdır. "Pozitif operatör değerli ölçümü" daha iyi tarif olarak görülmektedir beklenti değeri ölçülebilen muhtelif gözlenebilirler arasında e _c koleksiyonu {içinde e _c } _{c ∈ Cı} .

— Niel de Beaudrap
kaynak

6

Akash Kumar'ın sorusuna bir cevap daha sunacağım, yani (özellikle öğrenciler için) kuantum mekaniğinin gizemleriyle iyi bir yaklaşım ilk önce klasik mekaniğin gizemleriyle uğraşmaktır.

Bu bağlamda, tavsiye edilen bir başlangıç ders kitabı (ciltsiz kitapta mevcuttur) Stephanie Frank Singer'ın "Mekanikte Simetri: Nazik Modern Giriş" ... kısa ve net olma avantajına sahip (120 sorun açıkça çalıştı) ve yine de sezgisel geometri ve Lie grubu teorisinin ana modern fikirlerini güvenle kucaklar.

Burada mesele şu ki, 20. yüzyılın başlarında, kuantum mekaniği ve klasik mekaniği çok farklı iki dinamik teorisi gibi görünüyordu. Ama Vladimir Arnold'un "Hamilton mekaniği faz uzayında geometri olduğu; faz uzayının sezgisel bir manifoldun yapısına sahip olduğu" ciddiyetini alırsak ve ciddi bir şekilde Ashtekar / Schilling maxim'ini "ön planda olan lineer yapı" kuantum mekaniğinin ders kitabı tedavileri, öncelikle, sadece teknik bir kolaylık ve temel bileşenler --- devletlerin manifoldu, sezgisel yapı ve Riemann metriği --- bu doğrusallığı paylaşmıyoruz ", o zaman daha iyiye geliyoruz Troy Schilling'in 1996 tezinin güçlü bir matematiksel temele dayandığını takdir etmek,

Klasik / kuantum dinamiğine yönelik bu birleşik geometrik yaklaşım, esas olarak klasik mekaniği daha gizemli ve kuantum mekaniğinin daha az gizemli görünmesini sağlayarak başarılı olur ... ve bunun her iki tür öğrenmeye de uygulanabilir mekaniği.

5

Eğer daha önce görmediyseniz Scott Aaronson'un "Demokritostan Beri Kuantum Bilişim" ders notlarını , özellikle de ders 9'u tavsiye ederim . Uzman olmayan biri olarak bana gerçekten yardımcı oldular ve sunumunu burada ve burada ana noktalara damıtmaya çalıştım .

Size özel sorgu kadar Ben Born Kuralı kullanarak bazı basit örnek hesaplamak ve Ölçüm Postulate pratikte nasıl çalıştığını görmek sezgi oluşturmak yardımcı olduğunu düşünüyorum.

"Operasyonun özvektörlerine temel değişikliği yaparsanız, devlet vektörünün ith elementinin genliğinin karesi" olarak düşünün.

Bu aynı zamanda, kuantum mekaniğinin karmaşık sayılarla olasılık olduğu sezgisine sıkı sıkıya bağlıdır - çünkü genliklerin kareleri 1'e kadar toplamalıdır.

Kuantum hesaplama üzerinde çalıştığınız sürece, Shor'un algoritması hakkındaki bu tartışmaya da göz atmak isteyebilirsiniz .

— Mugizi Rwebangira
kaynak

Teşekkürler Mugizi ... Scott Aaronson'un ders notları gerçekten hoş görünüyor.

— Akash Kumar

4

Ek.

Sorunuzun biçimini ( örneğin , paydadaki M ^† M --- örneğin projektörler için yeterli olan tek bir operatör M'nin aksine) ve Nielsen ve Chaung kopyamı yeniden inceledikten sonra, bazı ek ayrıntılar aşağıda verilmiştir önceki cevabım kapsamında değil. (Bunu uzunluk nedeniyle ayrı bir cevap olarak gönderiyorum ve bunun önceki cevabımdan daha az bir 'açıklama' olduğunu hissediyorum.)

Bir kübit X'i ölçmenin tek yolunun dolaylı olduğunu varsayalım : bir ancilla A ile 'zayıf' bir etkileşim ve ardından A üzerinde bir ölçüm . Bunları bir anlamda X'i ölçmenin bir yolu olarak konuşmak istiyoruz . Böyle bir ölçümü sadece X cinsinden nasıl tarif edebiliriz ? Peki: A'yı başlangıç durumunda kolayca hazırlayabildiğimizi ve X kontrol ve A hedef olarak aşağıdaki türden kontrollü bir ünite gerçekleştirebildiğimizi : $|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

U = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos (\frac{π}{12}) & \sin (\frac{π}{12}) \\ 0 & 0 & - \sin (\frac{π}{12}) & \cos (\frac{π}{12}) \end{matrix}]

$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$

Daha sonra A'yı standart olarak ölçeriz (böylece A artık ölçüm sonucunu saklar). Bu X'in durumunu aşağıdaki gibi dönüştürür :

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

Not Yukarıdaki denklemlerde bu ölçüm sonucu ise, c , son durum arasında X ile orantılıdır biz yeri tanımlayan $|\psi_1\rangle$ $|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

M_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |, M_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |;

$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$

ve ölçüm sonuçlarını elde etme olasılıklarımızın her durumda . $\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

Bu X'in dönüşümünü yansıtmalı ölçümleri tarif ettiğimiz gibi tarif etmeye çok yakındır . Fakat bu, anlamlı bir ifadeyle, herhangi bir tür ölçüm mü? Peki: bu prosedürün çoklu tekrarlarının sonuçları hakkında istatistikler yapabilirsek ve X başlangıçta standart temelde ise, '0' sonucunu aldığımızda bir önyargı olduğunu fark ederiz: daha sık elde ederiz zaman X'in devlet başlangıçta . Ölçüm sonuçlarının veya gibi dağıtılıp dağıtılmadığını ayırt etmek için yeterince zaman başlangıçta durumda olup olmadığını yüksek olasılıkla belirleyebiliriz $|1\rangle$ $(\frac12,\frac12)$ $(\frac34,\frac14)$ $|0\rangle$ veya durum . $|1\rangle$

Olasılık ve güncelleme formüllerinin projektif ölçüm ile benzerliği ve ölçülen durum hakkında bilgi almak için ölçüm istatistiklerini kullanabilmemiz, 'ölçüm' kavramının, yukarıda: Bir, iki veya daha fazla operatörü (aslında 'Kraus operatörleri', CPTP haritalarıyla ilişkili nesneler) olan olası ölçüm sonuçlarını, biraz genelleştirilmiş bir Born kuralı ile tanımlanan sonuçları açıklayabiliriz $M_c$

\underset{| ψ_{0} ⟩}{Pr} (result = c) = ⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$

burada , ölçümünüzle ilişkili bir Kraus operatörüdür ve $M_c$

| ψ_{1} ⟩ = \frac{M_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$

Olasılıkların korunabilmesi için (kesin olarak ölçüm sonuçlarından en az birinin gerçekleşmesi için), . Sorunuzda Nielsen ve Chaung tarafından açıklanan daha genel form budur. (Yine, yoğunluk operatörleri tarafından durumları tanımlarken biraz daha iyi görünüyor.) $\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

Genel açıklamalar.

Genel olarak, her zaman biz Ancilla (veya ancillas toplanması) tanıtmak olduğunu A , etkileşim bir qubit (veya birkaç qubits ait kayıt) X yekpare A ve sonra bir yansıtmalı ölçüm gerçekleştirmek A , bu ölçümün bir tür yol açmaktadır ve X ; Ölçüm operatörler daha sonra pozitif yarı kesin operatörlerin bir toplama ile tanımlanabilir şekilde (yine olasılık korunur). $M_c$ $\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

Daha genel, zayıf ölçümler dönüşümler açık bir seçim olmadan, daha yakından kolayca 'soyut' ölçüm olasılıklarını tanımlamak için izin POVMs, ilgili Burada anlatılan operatörleri sağlayarak, kullanımına sen ve izin Bunlar Born kuralında olasılıkları hesaplamak için kullanılır. Hem yukarıda hem de önceki yanıtımda bahsettiğim gibi, POVM'lerin bir sistem hakkında istatistiksel olarak mevcut bilgileri tanımladığı düşünülebilir. $M_c$ $E_c = M_c^\dagger M_c$

Ölçümlerin Kraus operatörleri açısından (ve yukarıdaki gibi bir 'ölçüm sonuç kaydı' A açısından) düşünülmesi , ölçüm kavramını, zevk aldığım bir fikir olan CPTP haritasına aktarmanıza izin verir. (Ancak, bu durum analitik bir bakış açısıyla gerçekten değişmez ve henüz CPTP haritalarından memnun değilseniz endişelenmeniz gereken bir şey değildir).

— Niel de Beaudrap
kaynak

4

Niel de Beaudrap'ın Kraus Operatörleri ile ilgili cevabı çok iyiydi. Nielsen ve Chuang ders kitabı ile ilgili olarak, bu, önce Bölüm 2'yi, sonra Bölüm 8'i ve ardından araya giren bölümleri okuması gerektiği anlamına gelir .

Ayrıca, Kraus operatör temsili Lindbladian operatörü olarak adlandırılan sınırsız bir sınıra sahiptir; genel olarak konuşursak, Lindbladian operatörleri bir Lie cebirinin Lie grubu için Kraus operatörlerine aittir. Carlton Caves'in çevrimiçi notları "Tamamen pozitif haritalar, pozitif haritalar ve Lindblad formu" bu materyalin çoğunu kapsıyor.

Kraus operatörleri yerine sadece sonsuz Lindbladian operatörleri ile çalışmanın avantajı, Lindbladianların doğal olarak Hilbert olmayan kuantum durum uzaylarına geri çekilmesidir; bunlar arasında kuantum kimyasında ve yoğun madde fiziğinde yaygınlaşan tensör ağı durum uzayları; ayrıca geri çekme teknikleri sicim teorisinde de yaygındır.

Şu anda kuantum dinamiğinin bu geometrik, Hilbert olmayan tanımını geliştiren bir ders kitabı yok ... ama olmalı! (Yukarıdaki referanslarla birlikte) toplu fikirleri kapsayan ders kitapları John Lee "Pürüzsüz Manifoldlar", Frenkel ve Smit "Moleküler Simülasyonu Anlamak: Algoritmalardan Uygulamalara" ve Kloeden ve Platen "Stokastik Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü" dür.

Bunun çok fazla okuma olduğu doğru ... ve bu yüzden geometrik kuantum dinamiği lisans düzeyinde öğretilmiyor. Bu üzücü bir durumdur, çünkü lisans öğrencilerinin, kuantum dinamik sistemlerin durum uzayının doğrusal bir vektör alanı olduğu fikrini edinmeleri çok kolaydır, ancak çoğu büyük ölçekli pratik hesaplamada doğru olmasa da.

Doğanın kullandığı durum uzayına gelince: kimse bilmiyor — yerel (teğet-uzay) kuantum doğrusallığı için deneysel kanıt oldukça güçlüdür, ancak küresel (Hilbert-uzay) kuantum doğrusallığı için kanıtlar oldukça zayıftır. Özellikle, birçok ders kitabının kuantum doğrusallığının kanıtı olarak öne sürdüğü yüksek hassasiyetli moleküler ışın kuantum dinamik deneyleri, düşük boyutlu tensör ağ durum alanlarında gerekli ~ 1/2 ^ {65} göreceli hassasiyetle simüle edilebilir, mükemmele yakın dinamik doğrusallığın yerini alan mükemmele yakın dinamik sezgiselliği ile.

Yukarıdaki nedenlerden dolayı, belki de 21. yüzyıl öğrencileri, 20. yüzyılın ders kitaplarını tamamen kabul edilmemelidir. Ama gerçekten, 21. yüzyılın hangi öğrencisi başka bir şekilde isterdi?

Yukarıda kuantum sistem mühendisleri geometrik ve cebirsel doğallığı eriten ve genel olarak klasik, kuantum ve hibrit dinamik sistemlere uygulanan bir matematik araç setini nasıl benimsemişlerdir.

Edit edit: Pratik kuantum simülasyonuna geometrik bir yaklaşımın fizibilitesinin bir testi olarak, Kuantum Sistem Mühendisliği (QSE) Grubumuz, Charlie Slichter'ın klasik Manyetik Rezonans Prensipleri Bölüm 3'ün " Manyetik Dipolar Genişletme ve Polarizasyon Taşımacılığı" Katı Kafesler ".

Bu geometrik transkripsiyon doğal olarak geometrik dinamiklerdeki çoklu açık sorulara işaret eder; örneğin MathOverflow sorusu " Kuantum dinamik simülasyonlarında, bir Poisson braketinin simetrik (Riemannian) analogu nedir? "

— John Sidles
kaynak

Bu yaklaşımın bayrağını internette salladığını gördüm. Müstehcen bir cümle ile, bahsettiğiniz durum alanlarının nasıl doğrusal olmadığı hakkında bir fikir verebilir misiniz? Geometrik nicemleme ile klasik faz uzayı olarak bir manifold M ile başlıyorsunuz ancak kuantum durum alanı Hilbert uzayı L ^ 2 (M). Yani, klasik geometri yüksek derecede doğrusal olmasa bile, kuantum geometrisi hala doğrusaldır, ancak elbette çok daha büyüktür (sonsuz boyut ve benzeri vardır).

— Per Vognsen

Üzgünüm, beyaz bir yalan söyledim. Aslında M üzerinde bir çizgi paketi üzerinden L ^ 2'ye bakmanız gerekir. Ancak temel nokta kalır.

— Per Vognsen

Per, söylediğiniz şey, klasik bir sistemle başlayan ve kuantum genellemesini arayan klasik (esas olarak Rus) "geometrik nicemleme" okulu için geçerlidir. Ancak tam olarak "tam tersi", başlangıç noktasının bir K & auml hler manifoldu üzerinde sezgisel / Lindbladian dinamiği olduğu "geometrik kuantum mekaniğinin" Ashtekar / Schilling modellerinde gerçekleşir.

— John Sidles

1

Hmmm ... daha iyi biçimlendirelim! Per, (çoğunlukla Rus) "geometrik nicemleme" okulunda klasik dinamiklerle başlar ve bunun kuantum genellemesini arar. Ters hareket, başlangıcın Kahler durum uzayında sezgisel / Lindbladian dinamikleri olduğu "geometrik kuantum mekaniğinin" Ashtekar / Schilling modellerinde görülür; ve / veya (2) büyük bir N (spektral) yaklaşım olarak Hilbert boşluğuna geri çekilir. Mühendislikte, son iki yöntem yaygın olarak kullanılır, ancak yaygın olarak öğretilmez.

— John Sidles

3

Her şeyden önce, gözlemlenebilir neden operatörler tarafından temsil ediliyor? Klasik mekanikte gözlenebilir, faz uzayında gerçek değerli bir işlevdir. Enerji veya momentum gibi değerler hakkındaki bilgileri sistemden çıkarır, ancak onu etkilemez veya etkilemez. Gözlemci sistemin bir parçasıysa, ölçüm fiziksel bir süreçtir ve sistemin evrimini değiştirebilir. Sonlu, sonsuz olmayan zaman evriminin üniter olması (yani toplam olasılığı korumak) için sonsuz zaman evriminin Hermitiyen olması gerekir. Bu Stone'un teoremi; kuantum mekaniğinde operatörlerin neden Hermitçı olduğunu açıklar.

Bu mantıklıysa, iki şeyden sonra gelir: $M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

$M$ , gözlemlenebilir için ölçüm sürecinin sonsuz zaman evrimini açıklar. Halefi olan ve ikiliği ile halefi için ise . $\mid\psi\rangle$ $M\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid$ $\langle\psi\mid M^\dagger$
normu , durumun toplam olasılığıdır. Önceki nokta ile birleştiğinde, toplam olasılığının . Karekök ile bölmek durumu normalleştirir. $\langle\psi\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

— Vognsen Başına
kaynak

İlk kurşun noktasının son derece açık olduğundan emin değilim. bu durumda genel bir ölçümünü (muhtemelen bir POVM) oluşturan operatörlerin bir dizi biridir ve evrim o kadar deterministik değildir. Ayrıca sürekli değildir, bu nedenle sonsuz küçük evrim hakkındaki yorum biraz yanıltıcı olabilir. Bunlar gerçekten şartlı sıçramalar.

M

$M$

— Joe Fitzsimons

2

Öğrencileri hem klasik hem de kuantum dinamikleri incelemek için çok gelişmiş çerçeveleri takdir etmek için ihtiyaç duydukları matematiği öğrenmeye teşvik etmek amacıyla Akash Kumar'ın kuantum postülaları hakkındaki sorusuna ilişkin bazı ek referanslar sunacağım.

Nielsen-Chuang metninin kaldığı yerden başlayalım, yani "Teorem: Operatör-Toplam Temsilinde Üniter Özgürlük" (Nielsen-Chuang Bölüm 8.2). Nielsen ve Chuang'ın metni, bu teoremin pratik bir uygulamasının, kuantum hata düzeltmesi teorisine geldiğini ve burada "kuantum hata düzeltmesini iyi anlamak için çok önemli" olduğunu belirtiyor. Ama sonra Nielsen-Chuang metni sessizleşiyor.

Stack Exchange'de (şimdiye kadar) verilen cevaplar, bu "üniter özgürlüğü" anlamada çok yardımcı değil ... ortaya çıktığı gibi, Einstein ve Bohr'un "spukhafte Fernwirkungen" olarak adlandırdığı kuantum mekaniğinin tüm yönlerinin merkezi. kuantum mekaniğinin (ürkütücü hareket mesafesi). Özellikle, bu üniter özgürlük, kuantum okuma, kuantum hata düzeltmesi ve kuantum kriptografisinin anahtarıdır - TCS öğrencilerinin kuantum dinamikleri üzerinde çalışmasının temel nedenlerinden üçü.

Daha fazla bilgi edinmek için öğrenci ne okumalı? Birçok seçenek var (ve diğerlerinin kendi tercihleri olabilir), ancak Howard Carmichael'in "Kuantum Optikte İstatistiksel Yöntemler: Klasik olmayan alanlar", özellikle "Kuantum Yörüngeleri I- III".

Bu üç bölümde Carmichael'ın metni, Nielsen-Chuang metninin resmi postülalar ve teoremler olarak kodladığı şeyi fiziksel olarak motive eder, yani projektif ölçümleri (projektif olmayan ölçümler de) çeşitli şekillerde "çözme" özgürlüğümüz. Fiziksel olarak bu özgürlük, nedensel olarak ayrılabilir bir evrende yaşamamızı sağlar, matematiksel olarak bu özgürlük tüm kuantum kriptografisinin ve hata düzeltmesinin temelidir.

AFACIT, 1993'te bu bilişimsel değişmezliği tanımlamak için standart olan "çözülme" terimini icat eden Carmichael'dı. O zamandan bu yana çözülen literatür son derece büyüdü: arxiv sunucusunun "kuantum" ve "çözülme" için tam metin araması 762 el yazması bulur; varyant yazım "çözülme" 612 daha fazla el yazması bulur (muhtemelen bazı kopyalarla).

Tabii ki, matematiksel araç setini ve kuantum çözülmeyle ilişkili fiziksel fikirleri öğrenmek çok iştir. Öğrencilerin bu zor işi geri ödemelerini makul bir şekilde ne gibi yararlar bekleyebilirler? Cevap olarak, burada tek fazlı bir benzetme vardır, buradaki başlıca erdemleri, iki çok uzun, zor kuantum metni (Nielsen-Chuang ve Carmichael) okumaktan çok daha kısa olmasıdır.

Bir zamanlar Alice adlı Öklid geometrisinin bir öğrencisi kendisine "Öklid uzunluğunun ölçümü gerçekten nasıl çalışır?" Diye sordu. Öklit postülaları Alice'in sorusunu şu şekilde yanıtladı: "Tüm fiziksel uzunluk ölçümleri, matematiksel modeli sayı çizgisinin bir parçası olan bir pusulanın ölçümlerine eşdeğerdir." Yine de, yaratıcı hayal gücünün muazzam bir çabasıyla Alice, eşdeğer ancak daha genel bir cevap tasarladı: "Tüm fiziksel uzunluk ölçümleri, matematiksel modeli sezgisel ve metrik formlar ve dinamik potansiyellerle donatılmış manifoldlar üzerindeki eğriler olan yörüngeler boyunca hızların entegrasyonuna eşdeğerdir. ." Alice'in Öklidyen olmayan klasik dinamik çerçevesi öğrenmesi gereken çok şeydi, ancak yeni bilim, teknoloji,

Benzetmenin noktasını açıklığa kavuşturmak için Alice, klasik dinamiklerin farklı bir tanımını benimsedi ve böylece Öklid uzayının katı kısıtlarından kurtuldu. Benzer şekilde, günümüzün kuantum öğrencileri, çözülme dinamiklerinin farklı bir tanımını benimseme ve böylece Hilbert uzayının katı kısıtlamalarından kurtulma seçeneğine sahiptir.

Öklidyen olmayan klasik dinamiklerde olduğu gibi, Hilbert olmayan kuantum dinamiği de öğrenilmesi gereken çok iştir - şu anda gerekli tüm materyalleri kapsayan tek bir ders kitabı yoktur --- ve yine de bu yeni Öklid olmayan / Hilbert olmayan dinamik çerçeveler keşif için geniş yeni dünyalar açıyor. Bu keşifler, sicim teorisinin gizemlerinden kimya ve malzeme biliminde verimli, onaylanmış kuantum simülasyon kodları yazmanın cesur zorluklarına kadar uzanır. Bu alanların herhangi birindeki araştırmaların, hem klasik dinamiklerin Öklid'den daha derin bir takdirini hem de kuantum dinamiklerinin Hilbert'den daha derin bir takdirini zaten gerektirdiği açıktır.

Bu yüzden hem klasik hem de kuantum dinamiği ile ilgili matematiksel zorluklar ve araştırma fırsatları şimdiye kadar olduğundan daha büyük olmamıştır. Hangisi iyi!