Ben bir bilgisayar bilimi teorisyeni değilim ama bu gerçek dünya probleminin buraya ait olduğunu düşünüyorum.

Sorun

Şirketimin ülke genelinde birkaç birimi var.

Çalışanlarımıza başka bir birimde çalışma imkanı sunduk. Ancak bir şart var: Bir birimin toplam çalışan sayısı değişemez.

Bunun anlamı: Birisi onun yerini istiyorsa bir çalışanın birimini bırakmasına izin vereceğiz.

Örnek (kurgusal) istek verileri:

Name            Origin    Destination
Maria              1  ->  2
Marcos             2  ->  3
Jones              3  ->  4
Terry              4  ->  5
Joe                5  ->  6
Rodrigo            6  ->  1
Barbara            6  ->  1
Marylin            1  ->  4
Brown              4  ->  6
Benjamin           1  ->  3
Lucas              4  ->  1

Yukarıdaki, çizilen:

Kırmızı, mavi veya siyah seçenekler arasında nasıl seçim yapmamız gerektiğini gördünüz mü?

Asıl sorun biraz daha karmaşık, çünkü 27 birim ve 751 isteğimiz var. Lütfen görselleştirmeye bir göz atın

Amaç

Tüm talepleri topladıktan sonra, çoğu nasıl karşılanır?

Teori (?) Uygulaması

grafiğine sahip , her birimin bir V köşesi olmasına ve bir isteğin bir E kenarı olmasına izin verin.$G(V, E)$$V$$E$ , başarılı bir alışveriş, yönlendirilmiş bir tüp şeklini alacaktır.

Her döngü yalnızca bir kez kullanmalıdır ( bir işçi ünitesini iki kez bırakamaz ), ancak birkaç kez V'yi ziyaret edebilir ( bir birim bırakmak isteyen birçok işçiye sahip olabilir ).$E$$V$

Soru

Bu sorun olarak ifade edilirse

"Birlikte, en çok paylaşılmayan kenarı yönlendirilmiş grafikte içeren çevrimleri nasıl bulabilirim?"

Talep edenlerin çoğunu tatmin edecek miyiz?

Bu doğru, bu optimal döngü setini bulmak için bir algoritma var?

Bu garip yaklaşım bu sorunu çözecek mi?

1. en büyük yönlendirilmiş çevrimi bulun ;$G$
2. Kenarlarını çıkarın ;$G$
3. yönlendirilmiş bir döngü olmadıkça 1'i tekrarlayın ;$G$

Bana yardımcı olabilir misiniz?

Özgün sorunu tanımlamanın başka bir yolunu biliyor musunuz (talep edenlerin çoğunu mutlu etmek)?

Düzenleme : sorunu daha iyi tanımlamak için departmanı birime değiştirdi.

Tamam, TradeMaximizer kodunu okudum ve aşağıdaki, daha genel bir sorunu çözdüğüne inanıyorum.

SORUN: Verilen, yayları maliyeti olan yönlendirilmiş bir grafik. İlk önce kapsanan köşelerin sayısını en üst düzeye çıkaran ve toplam maliyeti en aza indiren bir tepe-ayrılma döngüsü kümesi bulun.

Sorusunu çözmek için, burada sorulan köşe çalışanı olmak ve bir yay çizmek yapmak zaman birim maliyeti x işini istiyoruz y . Çalışanların artık kenarlardan çok köşeler olduklarına dikkat edin. İşin güzel yanı bir çalışanın “Gerçekten işini istiyorum” diyebilmesi.$x\to y$$x$$y$, ama z'nin de yapmasını.$y$$z$

Çözüm:

1. İki taraflı bir grafiği aşağıdaki gibi oluşturun: Orijinal grafikteki her köşe için bir sol köşe x L , sağ köşe x R ve bir yay ekleyin$x$$x_L$$x_R$maliyeti büyük olan x L → x R (orijinal maliyetlerin toplamından daha büyük) grafik). Orijinal grafiktekiher bir ark x → y için, bir ark x L$x_L\to x_R$$x\to y$, iki taraflı grafiğe y R ekleyin.$x_L\to y_R$

2. İki taraflı grafikte minimum maliyetle mükemmel bir eşleşme bulun.

Orijinal grafiğin de önceden işlenmesi var: SCC'ler arasındaki yayları kaldırın, sonra tüm SCC'leri işleyin $>1$ yukarıda belirtilen .

(Aslında, TradeMaximizer, yukarıdaki iki kritere göre, en büyük döngünün uzunluğu gibi diğer şeyleri sezgisel olarak optimize etmek için tüm optimal çözümleri yineliyor. kişi fikrini değiştirir.)

Not: Yazar Chris Okasaki, blog yazısında kodun yaptığı şeyin bu olduğunu onayladı .

$1$$-1$ . O zaman uygulanabilir bir dolaşım, kenar ayrık yönlendirmeli çevrimlerin toplamıdır (yani birleşme) ve dolaşımın maliyeti, kenar sayısının ihmal edilmesidir.

Tüm maliyetler ve kapasiteler sabitler tarafından sınırlandırıldığından, basit bir döngü iptal algoritması gerekli dolaşımı polinom zamanında bulacaktır. Bu neredeyse açık açgözlü algoritması ile aynıdır:

while G has any negative-cost directed cycles
    γ = arbitrary negative-cost directed cycle
    reverse every edge in γ
    negate the cost of every edge in γ
return the subgraph of reversed edges

$O(VE)$$0$$-E$$E$$O(VE^2)$

Bu bilinen en hızlı algoritma değil.

Bu açgözlü yaklaşım her zaman en iyi çözümü vermeyecektir.

Bir döngü düşünün ile N kenarları$C$$n$$\{(v_1, v_2),\dots,(v_n,v_1)\}$$C_1$$C_2$$n-1$$C$

$C$$n$$C_1$$C_2$

$C_1$$C_2$$2(n-1)=2n-2$

$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ daha da kötü hırslı bir çözüm yapar çevrimleri.

Bunu çözmek için muhtemelen bir grafik teorisi yolu / formülasyonu vardır, ancak bu problem bana tüm permütasyonların bazılarının reddedildiği ve diğerlerinin geçerli olduğu bir permütasyon problemi gibi geliyor. permütasyonlar çalışanlar ve pozisyonlar şirkette “pozisyonlar” dır. "kişi [x] pozisyonu [y] istiyor" şartlarına uymazsa bir izin reddedilir. Birim / borç / org sınırlarının ayrımı, bu durumda çözüm için biraz gereksiz görünmektedir.

Kısıtlı bu tür permütasyon problemi kolayca SAT (tatmin edilebilirlik) probleminin bir örneğine dönüştürülebilir. Boolean değişken atamaları çalışanları temsil eder ve kısıtlama cümleleri "person [x] pozisyon [y] istiyor" kısıtlamalarını temsil eder. Bunun yakınında klasik örnekler vardır; bunlar genellikle "oturma masası" problemi olarak adlandırılır, burada oturma pozisyonlarınız ve misafirleriniz vardır ve tüm konukların yan yana oturmak istememesi (veya bazı misafirlerin diğer konukların yanında oturmak istemesi gibi).

ve tabii ki, PC'de ve problem binlerce zorlu ise, yüzlerce kadar değişken ve cümlecik içeren oldukça büyük durumlar için karmaşık SAT çözücüleri var.

örneğin profesyonel bir referans için [1] ve sınıf içi bir egzersiz için [2]. Güvercinlerin güvercinlere tahsis edildiği SAT çevrelerinde iyi çalışılmış ve güvercinlerden daha fazla veya daha az delik bulunduğunuz "güvercin deliği sorunları" olarak bilinenlere yapısal bir benzerlik de var. Bu durumda, ancak güvercinler genellikle değiştirilebilir olarak görülür. Başka bir deyişle, yemek masası problemi, daha kısıtlı olan güvercin deliği problemi gibidir ve misafir / güvercinlerin tercihleri ​​vardır.

Elbette, bu tür problemler için, kısıtlamalara bağlı olarak cevabın “böyle bir kısıtlı çözüm bulunmadığını” unutmayın.

[1] yemek masası algoritması, crato tarafından

[2] CS402 princeton HW SAT

[3] Memnuniyet sorunu, wikipedia