Doğrudan ürün teoremlerinin çeşitleri

Doğrudan ürün teoremi, gayri resmi olarak, bir f işlevinin örneklerini hesaplamanın , bir kez f hesaplamaktan daha zor olduğunu söyler .$k$$f$$f$

Tipik doğrudan ürün teoremleri (örneğin Yao XOR Lemma) bakmak ortalama durum karmaşıklığı ve (çok kabaca) iddia boyutu devreleri tarafından hesaplanamaz ler daha iyi olasılığı p , daha sonra k kopyaları f hesaplanabilir edilemez boyutta devreleri s ' < ler daha iyi olasılığı p k .$f$$s$$p$$k$$f$$s' < s$$p^k$

Farklı türlerde doğrudan ürün teoremleri arıyorum (eğer biliniyorlarsa). özellikle:

(1) Eğer hata olasılığını ayarlıyormuş yerine işlem için gerekli olan devre te boyutu ile ilgili olarak k kopyaları f ? Eğer söyleyen bir sonuç var mı f boyutu devreleri tarafından hesaplanamaz s olasılığı daha iyi p , sonra da k kopyaları f daha iyi olasılığıyla hesaplanamaz p daha az boyutta bir devre kullanılarak O ( k ⋅ s ) ?$p$$k$$f$$f$$s$$p$$k$$f$$p$$O(k \cdot s)$

(2) En kötü durum karmaşıklığı konusunda bilinenler nelerdir ? Örneğin, eğer , s büyüklükteki devreler tarafından hesaplanamazsa (0 hatasıyla) , f kopyalarının (0 hatasıyla) k kopyalarının karmaşıklığı hakkında ne söyleyebiliriz ?$f$$s$$k$$f$

Herhangi bir referans takdir edilecektir.

(1): Bu soru Ronen Shaltiel tarafından "Güçlü doğrudan ürün teoremlerini kanıtlamaya doğru" makalesinde incelenmiştir ve böyle bir varsayımın yanlış olduğu ortaya çıkmaktadır: Örneğin, olasılık 0.99 ∗ p ile hesaplanabilir. boyutu s'den çok daha küçüktür ve yalnızca ek 0.01 ∗ p olasılık kütlesi s boyutu gerektirir . Hesaplarken Böyle bir durumda, f üzerindeki k örnekleri, devre çözebilir f çok daha küçük boyutta örnekleri çoğunda s ve boyut gerekir ler sadece örneklerinin birkaç üzerinde.$f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

(2): En kötü durum karmaşıklığı için doğrudan ürün teoremi, formüller ve monoton devreler için bilinir, ancak aslında genel devreler için yanlış olduğu bilinmektedir. Kolay bir örnek için, girdisini vektör olarak gören ve sabit n × n boole matrisi ile çarpan fonksiyonunu düşünün . Ardından, fonksiyon bilgisayar f boyutunu gerektirebilir n 2 , ancak bunu bilgisayar n örneklerini çok daha hızlı daha yapılabilir n $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$bir matris çarpma algoritması kullanarak. Bu konunun kapsamlı bir tartışmasını Ingo Wegener'ın "Boolean İşlevlerinin karmaşıklığı" kitabında bulabilirsiniz - Bölüm 10.2'ye bakın: http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ .

Sadece Or'un cevabını tamamlamak için, (1) [k kopyalarında başarılı olmak için ne kadar kaynağa ihtiyaç duyulduğu] lezzetiyle ilgili sorular incelenmiş ve karşılık gelen teoremlere "doğrudan toplam teoremleri" adı verilmiştir. Doğrudan ürün teoremlerinde olduğu gibi, düzene bağlı olarak doğrudan toplam teoremleri tutulabilir veya olmayabilir.