Ağlar üzerindeki etkileşimleri değerlendirirken, dinamiği analitik olarak hesaplamak genellikle çok zordur ve yaklaşımlar kullanılır. Ortalama alan yaklaşımları genellikle ağ yapısını tamamen göz ardı eder ve nadiren de iyi bir yaklaşımdır. Popüler bir yaklaşım, bitişik düğümler arasındaki doğal korelasyonları dikkate alan çift yaklaşımdır (sezgisel olarak bunu kenarlarda ortalama alan yaklaşımı türü olarak düşünebiliriz).
Cayley grafiklerini düşünüyorsak yaklaşım tamdır ve düzenli rastgele grafiklere bakarsak çok iyidir . Biz ortalama derecesi ile rastgele grafiği olduğunda Uygulamada ayrıca durumlar için çok yakın değerler sağlar k ve derecesi etrafında bir sıkı bir dağılım k . Ne yazık ki, ilgi çeken birçok ağ ve etkileşim bu tür grafikler tarafından iyi bir şekilde modellenmemiştir. Genellikle çok farklı derece dağılımlarına (örneğin ölçeksiz ağlar gibi), belirli (ve yüksek) kümeleme katsayılarına veya belirli ortalama en kısa yol mesafesine sahip grafikler (daha fazla bilgi için bkz. Albert ve Barabasi 2001 ) .
Bu tür ağlar için iyi çalışan çift yaklaşım iyileştirmeleri var mı? Yoksa başka analitik yaklaşımlar var mı?
Ağlardaki etkileşimlere bir örnek
Ağlardaki etkileşimlerden kastettiğime bir örnek vereceğimi düşündüm. Evrimsel oyun teorisinden nispeten genel bir örnek vereceğim.
Her düğümü, bir kenarı olan diğer ajanlarla çift olarak sabit bir oyun oynayan bir ajan (genellikle sadece bir strateji ile temsil edilir) olarak düşünebilirsiniz. Böylece, her bir düğüme bir miktar strateji ataması verilen belirli bir ağ, her bir düğüm için bir kazanç sağlar. Daha sonra bu getirileri ve ağ yapısını bir sonraki yineleme için düğümler arasındaki dağılımını belirlemek için kullanırız (Ortak bir örnek, her bir aracı için komşuyu en yüksek getiriye veya bunun olasılıklı bir değişkenine kopyalamak için olabilir). Genellikle ilgilendiğimiz sorular, her bir stratejinin temsilci sayısını ve bunun fazla mesaiyi nasıl değiştirdiğini bilmektir. Genellikle istikrarlı bir dağılımımız vardır (daha sonra bilmek istediğimiz veya yaklaşık olarak tahmin ederiz) veya bazen sınır döngüleri veya daha egzotik canavarlar.
Bu tür bir modelde ortalama alan yaklaşımı yaparsak , ağ yapısını bariz bir şekilde göz ardı eden ve sadece tam grafikler için doğru olan dinamik olarak replicator denklemini elde ederiz. Çift yaklaşımı kullanırsak ( Ohtsuki ve Nowak 2006 gibi ) biraz farklı dinamikler elde ederiz (aslında, modifikasyonun grafiğin derecesine ve güncelleme adımının özelliklerine bağlı olduğu değiştirilmiş bir ödeme matrisi ile çoğaltıcı dinamikler olacaktır) bu, rastgele grafikler için simülasyonla iyi eşleşir, ancak diğer ilgili ağlar için uygun değildir.
Örneğin daha fazla fizik için: ajanları spin ile değiştirin ve ödeme matrisini Hamiltonian bir etkileşim olarak adlandırın, ardından periyodik rastgele ölçümler yaparken sisteminizi soğutun.
Notlar ve ilgili sorular
Üçlü veya düğümlerin dörtlü üzerinde bir tür ortalama alan yaklaşımı göz önünde bulunduran türün çift yaklaşımının doğrudan genelleştirmeleri kullanışsızdır ve yine de çok farklı derece dağılımlarını veya ortalama en kısa yol mesafesini dikkate almazlar.