Genel bir LP çözücü kullanmadan tüm katsayıları 1'e eşit olan katı doğrusal eşitsizlikler sistemini verimli bir şekilde çözüyor musunuz?

Başlık başına, genel amaçlı bir LP çözücü kullanmak dışında, değişkenler üzerindeki eşitsizlik sistemlerinin çözümü için bir yaklaşım var mı? $x_i, \ldots, x_k$ eşitsizliklerin biçime sahip olduğu $\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j$ ? Güç setinin üyelerinin toplamı üzerinde toplam bir düzen oluşturan özel eşitsizlikler davasına ne dersiniz? $\{x_i, \ldots, x_k\}$ ?

ds.algorithms linear-algebra linear-programming

— jonderry
kaynak

@Ankur: Tamsayı mı yoksa gerçek mi olduğu önemli değil. Bunlar katı eşitsizlikler ise, bunları gerekçelere yuvarlayabilir ve ardından bir tamsayı çözümü elde etmek için en az ortak payda ile çarpabilirsiniz.

— Peter Shor

30 dakika içinde neyi kodlayabileceğiniz hakkında hiçbir fikrim yok (hangi dilde?). Eğer bu “basit” kriteri ise, bu gerçekten teorik bilgisayar biliminde bir soru mu?

— Tsuyoshi Ito

İyi nokta Peter Shor. jonderry, ifademi geri alıyorum. Bu katı eşitsizlikleri tatmin etmenin kombinatoryal probleminin ve bir koninin iç noktasını bulma konveks analitik probleminin niteliksel olarak farklı olduğunu düşünüyordum. Ben hatalıydım.

— Ankur

@Tsuyoshi: Önemsiz olmak zorunda değil, ancak tam bir LP çözücüsünün tüm ekstra gücünü kullanmadan, özellikle de sipariş verdiğimiz özel durum için, ilk prensiplerden yapıp yapamayacağını merak ediyorum. (bu durumda polinom zamanının değişken sayısında üstel olduğunu unutmayın).

— jonderry

Sonra “Bu problem doğrusal programlama için genel algoritmalar kullanmadan verimli bir şekilde çözülebilir mi?” Diye düşünüyorum. sorunuzu daha iyi formüle etmenin iyi bir yoludur.

— Tsuyoshi Ito

İlk sorunuz için, toplam düzen olmadan, sorunuzun cevabı aslında doğrusal programlama kadar zor olmasıdır. İşte bir ispat taslağı.

İlk olarak, bir değişken oluşturalım $x_1>0$ dediğimiz $\epsilon$ . Şimdi başka bir değişken seçelim $x_i$ arayacağımız $1$ . Biz emin olmak istiyorum

ϵ ≪ 1 .

$\epsilon \ll 1\, .$ Bunu yapmak için eşitsizlikleri göz önünde bulundurun

x_{1} < x_{2},

$x_1 < x_2,$

x_{1} + x_{2} < x_{3},

$x_1 + x_2 < x_3,$

x_{2} + x_{3} < x_{4},

$x_2+x_3 < x_4,$ ve bunun gibi. Yeterince uzun bir zincirle, bu bize şunu söyleyecektir:

N x_{1} < x_{i}

$Nx_1 < x_i$ veya

ϵ < 1 / N

$\epsilon < 1/N$ , bazıları için çok büyük

N

$N$ (

N

$N$ bir Fibonacci sayısıdır ve dolayısıyla katlanarak büyür.

i

$i$ ).

Artık tamsayı katsayıları ile doğrusal bir program üretebiliriz. 3 katsayısı istiyorsak $x_t$ eşitsizlikleri ekliyoruz

x_{t} < x_{t^{'}} < x_{t^{″}} < x_{t} + ϵ

$x_t < x_{t'} < x_{t''} < x_t + \epsilon$ ve için 3 . Daha büyük katsayılar istiyorsanız, ikili gösterimdeki katsayıları ifade ederek ve , vb. Sağ tarafı elde etmek için, aynısını değişkeni ile yapıyoruz . Bu teknik, OP'nin formundaki doğrusal programları, tamsayı katsayılı rastgele doğrusal programların fizibilitesini yaklaşık olarak kontrol etmek için kullanmamıza izin verecek, bu da esasen doğrusal programlama kadar zor bir görev.

x_{t} + x_{t^{'}} + x_{t^{″}}

$x_t + x_{t'} + x_{t''}$

x_{t}

$x_t$

x_{u} \approx 2 x_{t}

$x_u \approx 2x_t$

x_{v} \approx 2 x_{u}

$x_v \approx 2x_u$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

İkinci soruyu nasıl analiz edeceğimi bilmiyorum, tüm alt kümelerde toplam bir siparişin nerede olduğu sorusunu soruyorum.

— Peter Shor
kaynak