Ana Denklemler ve Operatör Toplam Formu

12

Ben bir kuantum optik adam daha bir kuantum bilgi adam daha ve esas olarak ana denklemler anlaşma. Operatör toplamı formuyla ilgileniyorum ve simüle ettiğim küçük bir kuantum sistemi için bu formdaki hataları elde etmek istiyorum.

Yakalama: Kuantum sistemi, sinüzoidal işlevle modellenen harici (klasik) bir alan tarafından yönlendirilir ve sönümleme oranları düşüktür, bu nedenle bu zaman bağımlılığını ortadan kaldırmak için dönen bir dalga yaklaşımı yapamam. Ana denklemi entegrasyonla sayısal olarak çözmem gerektiği ve zamanındaki her entegrasyonun sonucunun bu hataları anlamak için yeterli bilgi olmadığı ve vektörize bir yoğunlukta çalışan superoperatör matrisini kurtarmak için biraz çalışma yapmam gerektiği göz önüne alındığında matris. yani, ana denklemi tek bir giriş 1 ve geri kalanı sıfır olan bir vektörleştirilmiş yoğunluk matrisini beslerim ve matrisi belirli bir süre için oluşturmuş . Burada doğru yolda mıyım (akıl sağlığı kontrolü)? Daha açık bir ifadeyle, $t$ $\tau$ , zamanına, sonra bir matriseevrimleşmiş olan , konumunda 1 tek girişli bir yoğunluk matrisinin vectorized (yani bir sütun vektörü) formudur.gelen yoğunluk matrisi vektör şeklinde için için olarak verilir $\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$ $i,j$ $t=0$ $\tau$ $t=0$ $t=\tau$ . $\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

Soru: Bu superoperator Verilen yapar $\mathbf{M}$ ,yararlı bir formdaolan operatör toplamı eşdeğeri için Krauss operatörlerini nasıl edinebilirim? yani, söz konusu sistem bir kübit ya da bir kubrit ve bir başka kübit ya da kubrittir. Mümkünse her bir kanaldaki spin matrislerinin tensör ürünleri şeklinde operatör toplamını yapabilmek istiyorum. $\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$ $\mathbf{M}$

Yan soru: Is bir Choi matrisi? $\mathbf{M}$

Son not: Pinja'nın önerdiği kağıdı kullandığım için Pinja'yı kabul ettim. Aşağıda ayrıntıları dolduran bir cevap verdim.

quantum-information

— qubyte
kaynak

"Söz konusu sistem bir kübit ya da bir kübrit ve bir başka kübit ya da kuşaktır" ile ne demek istersiniz. - "diğer sistem" nedir? Bu kanalı unitaries + tracing kullanarak uygulamak için gereken ancilladan mı bahsediyorsun? Bu durumda, ancilla boyutunun D ^ 2'ye kadar olabileceğini unutmayın, bu nedenle kübitler yapmaz.

— Norbert Schuch

Hayır, şu anda sadece iki küçük kuantum sisteminden oluşan ve farklı T1 ve T2 zamanlarına sahip bir oyuncak model. Bu sorunun cevabı ciddi bir endişe kaynağı değildir. Gelecekte bunun nasıl yapılacağı hakkında daha fazla bilgi edinmek kullanışlı olabileceğinden, daha çok ilgi çekici bir nokta.

— qubyte

Bu soruyu Fizik yerine CS Teorisine taşıyabilir miyim lütfen?

— qubyte

Şey ... Bence bu iyi olurdu, ama tamam.

— David Z

Teşekkürler. Üzgünüm, sadece büyük bir Fizik hayranı değil.SE ve her neyse, bence araştırma odaklı QI soruları (ikna olduktan sonra) burada daha iyi uyuyor.

— qubyte

9

Bir tezahür ortamında kubit Markovian olmayan dinamikleri inceledim Masters tezim üzerinde çok benzer bir sorun üzerinde çalıştım. İlgim, elde ettiğim ana denklemin tamamen olumlu olduğunu kontrol etmekti, ancak bu probleminizin sadece bir tarafı. Hiçbir RWA yapılmazsa soru çok önemsiz olduğu ortaya çıktı, ancak Ref kullanarak bazı sonuçlar elde edebildim. [ J Mod. Opt. 54, 1695 (2007) ] ve kübitin çevreye zayıf bir şekilde bağlı olduğu gerçeğinden faydalanmak Davulumu yeneceğim ve Ref. bu sonuçlardan bazılarını sunduğum bir makaleye [P. Haikka ve S. Maniscalco, Phys. Rev. A 81, 052103 (2010)] , yararlı bulabilirsiniz.

Ah! Görünüşe göre birkaç gündür Andersson gazetesine bakıyorum. Çok umut verici görünüyor ve en somut tarifi veriyor. Sorunlara uygulamak için bir yöntem olmasını seviyorum . Dürüst olmak gerekirse, gerçekten oturmak ve buna bakmak için bir parça yama bulmam gerekiyor. Şu anda daha kişisel bir proje.

— qubyte

7

Bir Markov süreci olarak Kuantum mekaniğine verilen referanslar - özellikle Carlton Caves'in on-line notları " Tamamen pozitif haritalar, pozitif haritalar ve Lindblad formu " - soruyu cevaplamaya yardımcı olan fiziksel fikirleri ve matematiksel araçları araştırın.

$M$ $M$ $M$ $M$ bütünüyle sayısal olarak verilmiştir.

$M$

Bu gibi sorular "algoritmik bir krank çevirerek" etkin bir şekilde cevaplanabilirse, kuantum fiziği çok daha az ilginç bir konu olurdu! :)

— John Sidles
kaynak

Durum böyle değildi, ama böyle olacağını umuyordum. Ne yazık ki, sistem sadece yoksunluk olmadan dephasing durumunda sadece sömürülebilir simetriye sahiptir. Lindblad ana denkleminin, Krauss olmayan terimleri hermityan olmayan bir Hamiltoninan'a toplayan çok çekici bir formu vardır, bu da Hamiltonyen'de zamana bağımlılık olmaması durumunda, çürümeyi doğal olarak ifade eden bir temel seçmek için kullanılabilir Kalan Krauss şartları olarak. Düzgün, ama benim için yardım yok.

— qubyte

Mağaraların notlarındaki referanslardan biri, bu makalede tartışılan (çok ve ince) kuantum bilgilendirici konuları kişisel olarak kavramanın en az garantisi olmadan tavsiye ettiğim Wolf ve Cirac Dividing kuantum kanallarıdır (arXiv: math-ph / 0611057)! :)

M

$\mathbf{M}$

M

$\mathbf{M}$

6

Bence aradığınız şey şudur: Gerçek Yoğunluk Matrisi . Çeşitli superoperator gösterimleri arasında (Paulis'in tensör ürün temelini kullanmak dahil) dönüştürmek için bir tarif verir. Sonuçları kullanarak ayrıntılı bir kuantum süreç tomografi deneyi burada: Kuantum Fourier Dönüşümünün Kuantum Süreç Tomografisi . Daha genel olarak Havel, burada minimum Kraus temsillerine dönüştürmek için algoritmalar türetmiştir: Lindblad, Kraus ve Kuantum Dinamik Yarı Gruplarının Matris Temsilleri Arasında Dönüştürme Prosedürleri .

${\rm vec}(\rho)$ $\rho$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$ ${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$ ${\rm col}(\rho)$ ${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$ ${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

C = \sum_{i, j} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) M^{r o w} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1),

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$

C = \sum_{i, j} (| i ⟩ ⟨ j | \otimes 1) M^{c o l} (1 \otimes | i ⟩ ⟨ j |) .

${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$

{| i ⟩ ⟨ j | \otimes | k ⟩ ⟨ l |}

$\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

— Chris Ferrie
kaynak

Bu ilginç, tam olarak aradığım şey olabilir ...

— qubyte

Eklemenizi gördüm. Teşekkür ederim, bu çok faydalı. Başlangıçta vec sürümünüzü aldım, ancak şimdi yığılmış sütunları kullanıyorum. Bunun için Wikipedia'ya teşekkürler . Belki de açıklık için gösterimi kabul etmeliyim.

— qubyte

4

Pinja'nın belirttiği gibi, Andersson ve ark. ( arXiv ) ( DOI ) özellikle yararlı olmuştur. Kağıt büyük ayrıntılara giriyor ve nihayet bugün ona düzgün bir şekilde bakmak için oturdum. Örnek bir sorun olarak, bunu kontrol etmek için bir değişim etkileşimi ile iki qubits seçtim, bu da düşündüğümün minimal bir versiyonu. Başlamak için ana denklem

\dot{ρ} = Λ (ρ) .

$\dot\rho = \Lambda(\rho).$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$ $1/2$ $G_i$ $G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

L_{n, m} = T r [G_{n} Λ (G_{m})] .

$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$

Soruda tartışıldığı gibi bir vektörize yoğunluk operatörüne etki eden bir matris olarak ana denklemle uğraşıyorsak, bu şu şekilde ifade edilebilir:

L_{n, m} = v e c (G_{n})^{†} Λ v e c (G_{m}),

$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$

bu da L'nin tek bir matris denkleminde türetilmesine izin verir, ama bu konudan biraz uzaklaşıyor.

$L$ $F$ $\phi$

F (t) = \exp (L t) .

$F(t) = \exp(Lt).$

$F$ $S$

S_{a, b} = \sum_{n, m} F_{m, n} T r [G_{n} G_{a} G_{s} G_{b}] .

$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$

Sonunda, harika kısmı.

ρ_{t} = ϕ_{n, m} (ρ_{0}, t) = S_{n, m} (t) G_{n} ρ_{0} G_{m}^{†}

$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$

$S$ $\Lambda$ $\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

Bu, beklendiği gibi quit ve qutrits için zaman bağımsız durumda çalışır. Zaman bağımlılığı durumunda bunun işe yarayıp yaramadığını kontrol etmeliyim.

— qubyte
kaynak