Kabul stratejisi ile Büchi otomatları

Sorun

Let dil tanıma, bir Büchi da olmalıdır . Biz varsayalım aşağıdaki anlamda bir kabul stratejisi vardır: bir işlev yoktur pilot ishal için kullanılabilir . Bunu aşağıdaki şartlarla resmileştiriyoruz: $A=\langle \Sigma, Q, q_0,F,\Delta\rangle$ $L\subseteq\Sigma^\omega$ $A$ $\sigma:\Sigma^*\to Q$ $A$

$\sigma(\epsilon)=q_0$
tüm ve , $u\in\Sigma^*$ $a\in\Sigma$ $(\sigma(u),a,\sigma(ua))\in\Delta$
tüm için tarafından yönetilen çalışma kabul edilir, yani sonsuz sayıda unsura sahiptir . $w=a_0a_1a_2\dots\in L$ $\sigma$ $\sigma(\epsilon),\sigma(a_0),\sigma(a_0a_1),\sigma(a_0a_1a_2),\dots$ $F$

Koşulları yerine getirmek için, gelecek hakkında hiçbir şey tahmin etmek zorunda kalmadan dilinin herhangi bir kelimesini kabul edebilir. $A$

Sonra, bu varsayımlar altında , bu doğrudur geçişler kaldırılarak sadece determinized edilebilir? Başka bir deyişle, yalnızca geçerli duruma ve harfe bağlı olarak her zaman bir sonraki geçişi seçebilir miyiz? Konuyla ilgili herhangi bir referans var mı? Aynı soru daha sonra Co-Büchi otomatlarında ve daha genel olarak parite otomatlarında sorulabilir. $A$ $A$

Ne biliniyor

İşte bazı kısmi sonuçlar.

İlk olarak, aynı kalıntıya sahip devletler arasındaki sigma'yı belirsiz olmayan seçimlerle kısıtlayabiliriz . Gerçekten de, eğer kabul dil , tercih neden olan bir kabul strateji fazla bir noktada var ise . $\sigma$ $L(q)$ $q$ $q_1$ $q_2$ $w\in L(q_2)\setminus L(q_1)$

Kalan seçeneklerin önemli olduğuna dikkat edin, bu nedenle sezgiye rağmen, bu belirsizlikten kurtulmak için yeterli değildir. Bunun nedeni, reklam sonsuzluğunda iyi bir artıkta kalmanın (yani kelimenin geri kalanının artıkta kalması) mümkün olması, ancak kelimeyi reddetmesi çünkü sonsuz sayıda Büchi devleti görülmemesi. Sorunun ana zorluğu budur: bir noktada ölümcül bir hata yapmadan sonsuz bir koşu yanlış olabilir.

İkincisi, , yani tüm kelimeler tarafından kabul edilirse sorun çözülür . Bu durumda , Oyuncu I'in giriş harflerini ve Oyuncu II'nin geçişleri seçtiği bir Büchi oyunu olarak görebiliriz . Sonra Oyuncu II için bir konum stratejisi çıkarmak için Büchi oyunlarının konumsal kararlılığını kullanabiliriz. Bu argümanlar daha genel eşlik otoması durumunda bile işe yarar. Bu sorunun zorluğu, bazı kelimelerin de olmaması ve bu durumda stratejisinin herhangi bir davranışı olabilmesinden kaynaklanmaktadır. $L=\Sigma^\omega$ $A$ $A$ $L$ $\sigma$

Üçüncüsü, burada varsayımlar altında, dilinin durumlarına sahip bir otomat tarafından tanık olan deterministik Büchi dilleri sınıfında olduğunu gösteren bir kanıt . Bunun, herhangi bir düzenli dili olamayacağını, örneğin , koşullarla eşleşen hiçbir strateji olmadığını ima ettiğine dikkat edin . $L$ $2^Q$ $L$ $\omega$ $L=(a+b)^*a^\omega$ $\sigma$

Geçişleri ilk açıklamaya göre kısıtlayarak başlıyoruz: yapabileceğimiz tek seçenek artık dili etkilemez. Biz sadece maksimum kalıntı ile halefleri alıyoruz, var olmalılar çünkü var $\sigma$

Ardından, aşağıdaki şekilde oluşturuyoruz. bir alt kümesi otomat olan , ancak bir Büchi durum her zaman bileşeninde görünen diğer tüm durumları bileşeninden çıkarılabilir ve tekil tekrar başlayın . Ardından ayarlayabiliriz . nın için belirleyici bir Büchi otomatı olduğunu doğrulayabiliriz . $A'=\langle \Sigma, 2^Q, \{ q_0\},F',\Delta'\rangle$ $A'$ $A$ $q$ $\{ q\}$ $F'=\{\{ q\} : q\in F\}$ $A'$ $L$

Son olarak, ikinci ve üçüncü açıklamaları bir araya getirerek, Oyuncu I harfleri seçtiğinde Oyuncu oyunda Oyuncu II için konumsal bir strateji kullanarak her zaman sınırlı bir hafıza stratejisi elde edebiliriz. Oyuncu II geçişleri seçer. içinde ve kazanırsa eğer zaman kabul kabul eder. $\sigma$ $A\times A'$ $A$ $A$ $A'$

— Denis
kaynak

Geçişleri kaldırılmış (deterministik) otomat için yazın . Let bir kelime . Sonra koşullarınıza göre , bir çalışmasıdır ve kabul eder, bu nedenle . Tersine, kabul eden herhangi bir çalışması özellikle kabul edilen bir çalışmasıdır , bu nedenle .

A_{σ}

$A_\sigma$

w = w_{0} w_{1} \dots

$w=w_0w_1\cdots$

L

$L$

σ (w_{0}) σ (w_{0} w_{1}) \dots

$\sigma(w_0)\sigma(w_0w_1)\cdots$

A_{σ}

$A_\sigma$

L \subseteq L (A_{σ})

$L\subseteq L(A_\sigma)$

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

L (A_{σ}) \subseteq L

$L(A_\sigma)\subseteq L$

— Sylvain

@Sylvain: Hangi geçişler kaldırılır?

— Dave Clarke

Ben aramak farz ediyorum otomat stratejisi kullanılan geçişler sınırlı . Sorun şu ki, deterministik olduğuna dair bir garantiniz yok . Örneğin,

A_{σ}

$A_\sigma$

A

$A$

σ

$\sigma$

A_{σ}

$A_\sigma$

deterministik değildir.

σ (a) = σ (ϵ) = q_{0}

$\sigma(a)=\sigma(\epsilon)=q_0$

σ (a a) = q_{1}

$\sigma(aa)=q_1$

A_{σ}

$A_\sigma$

— Denis

Ayrıca burada önceki çalışma hakkında daha fazla ayrıntı ile mathOverflow üzerinde gönderiyorum: mathoverflow.net/questions/97007/… , tamam mı?

— Denis

Yeterli bir süre sonra cevap alamadığı sürece, genellikle çapraz gönderilere izin verilmez. Bu soruda açık bir ödül olduğu göz önüne alındığında, birkaç gün beklerdim. Diğer yayını silebilir ve birkaç gün içinde açabilirsiniz. (Ayrıca, diğer gönderinin de buna bağlanması gerekir.)

— Dave Clarke

Cevabın hayır olduğu ortaya çıktı, bu makalede bazı karşı örnekler bulunabilir .

— Denis
kaynak

güncelleme için teşekkürler, ama belirsiz! ne Takımı? yayınladılar mı planlıyor musunuz? nasıl duydun? onu nasıl buldular? aramasının bir nedeni var mı? Bu teorik bir merak mıdır yoksa daha büyük bir sorun veya uygulamaya mı bağlı? vb

— vzn

daha fazla ayrıntı için bu cevaba bakınız: cstheory.stackexchange.com/a/24918/8953

— Denis

-1

Belirttiğiniz gibi, deterministik olmayan ve deterministik Buchi otomatları farklı dilleri kabul eder. Bir Buchi otomatı için en ünlü 'determinizasyon' Safra tarafından verilir (web üzerinde "Safra'nın yapımı" araması. İşte size gelen bir belge: www.cs.cornell.edu/courses/cs686/2003sp/Handouts/safra.pdf) . Prosedür oldukça karmaşıktır ve verilen Buchi otomatının deterministik bir Rabin otomatına dönüştürülmesini içerir ('F durumlarını' kabul etmek ve 'G durumlarını' reddetmek ': \ sigma'nın G'de sadece son derece fazla durumu vardır). Safra'nın yapısı, geçişleri ve / veya normal alt küme yapısını kaldırmaktan çok daha fazlasını içerir.

— Sudeep
kaynak

σ

$\sigma$