Mafya ne kadar zor?

Mafya partilerde popüler bir rol yapma oyunudur, ayrıntılı açıklama wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Mafia_%28game%29 adresinde mevcuttur .

Temel olarak, aşağıdaki gibi çalışır:

• Başlangıçta, oyuncuların her birine gizlice Mafya veya Kasaba ile uyumlu bir rol verilir. Her rolün özel yetenekleri olabilir; bunun hakkında daha sonra.$N$

• İki oyun aşaması vardır: Gündüz ve Gece. Geceleri, Mafya birbirleriyle gizlice iletişim kurabilir; ve o gece öldürdükleri bir hedef oyuncu üzerinde anlaşabilirler. Gündüz, tüm (canlı) oyuncular açık bir forumda iletişim kurar. Oyuncular bir oyuncuyu linç etmeyi kabul edebilir, tüm oyuncuların salt çoğunluğuna ihtiyaç vardır.

• Sadece Mafya kaldığında veya sadece Kasaba kaldığında oyun sona erer. Hayatta kalan parti kazanır.

• Üç rol olduğunu varsayalım: Vatandaş, Araştırmacı ve Mafioso. Vatandaşların yetkileri yok. Mafiosi'nin gece birbirleriyle iletişim kurabilmesinin ve her gece bir cinayet kurbanına oy vermenin ötesinde hiçbir yeteneği yoktur. Müfettişler her gece başka bir oyuncuyu araştırabilir ve tam rollerini öğrenebilirler.

• Oyunun gün içinde başladığını ve bir oyuncunun rolünün ölüm üzerine ortaya çıktığını varsayalım

Kazanma stratejileri

Bir kurulum Verilen arasında Soruşturanlara, Citizen ve Mafiosi, biz kurulum söylemek kent için kazanan onlar kazanmak şekilde İlçe oyuncular için bir strateji, olursa olsun varsa, nasıl Mafya oynuyor.$(i,c,m)$$i$$c$$m$

Mafya'nın tam bilgi ile oynadığını varsayabileceğimizi unutmayın, çünkü verebilecekleri herhangi bir kararı açıklamak istiyoruz .

Örnek: Kurulum Town için kazanır.$(4,1,1)$

1. Gün: Tüm Town oyuncuları açık sohbetteki rollerini doğru bir şekilde rapor eder. Mafia oyuncusu Araştırmacı veya Vatandaş olduğunu iddia etmelidir.

Vatandaş olduğunu iddia ederse, Mafioso iddia edilen iki Vatandaştan biridir. Her bir Araştırmacı birini araştırabilir ve doğru olanı bulacaktır. En fazla bir Araştırmacı gece ölebilir ve diğer ikisi Mafioso'yu asar.

Bu nedenle, Mafioso'nun Araştırmacıyı talep etmesi gerekir. 5 iddia edilen Yatırımcı var. Açık sohbette, Müfettişler birbirlerini kontrol etme izni üzerinde anlaşırlar.

Gece 1: Müfettişler hedeflerini kontrol ederler ve Mafioso birini öldürür.

2. Gün: 3 Müfettiş kaldı. Tüm iddia edilen Araştırmacılar bulgularını bildirdiler. Kim öldürülürse öldürülsün, bunlardan en az biri başka bir canlı Araştırmacı tarafından da onaylanır. Mafioso Araştırmacıyı talep ettiğinden, atanan hedefinin Mafya olup olmadığını da söylemelidir. Birini çerçevelerse, o zaman Kasaba, kendisinin veya çerçeveli olanın Mafya olduğunu, diğer doğrulanmış 3 Kasabaya karşı olduğunu bilir. Eğer kimseyi çerçevelemezse, 3 teyit edilmiş kasaba da olacaktır. Her iki durumda da, kimseyi asmamak ve sadece 2 sol şüpheliyi araştırmak Town için kazanır.

Sorular

• Belirli bir kurulumun Town için kazanan bir strateji kabul edip etmediğine karar vermek ne kadar zor? Sezgisel olarak, bu sorun gibi geliyor . Herkes bir indirim yapabilir mi?$PSPACE$
• Minimal kazanan kurulumlar bulabilir miyiz? Olduğu gibi veya oranlarını en aza indirebilir miyiz ?$i:m$$(i+c):m$

Bakmak isteyeceğiniz bir referans: http://www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

Mafya: Kısmi bir bilgi ortamında oyuncular ve koalisyonlar üzerine teorik bir çalışma Braverman, M. ve Etesami, O. ve Mossel, E. Uygulamalı Olasılık 2008 Yıllıkları

Her şeyden önce, kasaba için belirleyici bir kazanma stratejisi arıyorsanız, her vatandaşa rollerini sormakla oyuna başlamak her zaman faydalıdır. Çünkü Mafiosi ne olursa olsun Kasabayı kazanırsa, o zaman sormanın hiçbir zararı yoktur. Ve eğer Mafiosi kendilerini bir şey ilan edip bu durumda kazanabilirse, beyanı yapmış gibi davranırlar ve buna göre hareket ederler.

Ayrıca, böyle bir oyun muhtemelen altta yatan bir yapı olmadığı için PSPACE-complete olmayacaktır. Oyunu i, c, m'nin tüm değerleri için analiz etmenin zor olmadığına inanıyorum. Aşağıda bunu m = 1 için yapıyorum. Bundan sonra diyelim ki sadece bir mafya, M var ve oyun rolleri sormaya başlıyor. Şimdi M ya araştırmacı ya da vatandaş olduğunu iddia ediyor. Her iki durumu da kontrol edelim.

Durum 1: M soruşturmacıyı talep ediyor

İ = 0 ise, c en az 2 ise Town kazanır.

İ = 1 ise, c en az 4 olursa Town kazanır. Daha küçük sayılar için kaybeder çünkü M her gece bir vatandaşı öldürebilir.

Eğer i = 2 ise, c en az 3 ise Town kazanır. İddia edilen 3 araştırmacı dairesel bir düzende birbirlerine sorabilirler. Biri ölmedikçe M ortaya çıkar, bu yüzden bir araştırmacıyı öldürmesi gerekir. Bu, oyunu i = 1 durumuna düşürür.

Eğer i = 3 ise, c en az 1 ise Town kazanır. İddia edilen 4 araştırmacı dairesel bir düzende birbirlerine sorabilirler. Biri ölmedikçe M ortaya çıkar, bu yüzden bir araştırmacıyı öldürmesi gerekir. Şimdi M için en fazla iki olasılık var ve en az 5 kişi kaldı, böylece her ikisini de öldürebilirler. Eğer c = 0 ise, birbirlerine nasıl sorduklarına bakılmaksızın, M her zaman birisini öldürebilir ve gizli kalabilir (vaka analizi ile), bu yüzden Town'un belirleyici bir kazancı yoktur.

Eğer i> = 4 ise, Town iddia edilen araştırmacılar tarafından, i = 3 durumunda olduğu gibi, birbirlerini dairesel bir sırayla sorar.

Durum 2: M vatandaş olduğunu iddia ediyor

Burada oyun çok daha basit, araştırmacılar her turda farklı insanlara soruyor ve M her gece birini öldürüyor (bir araştırmacıyı öldürmek her zaman bir vatandaştan daha iyidir). Ayrıca, bazen bir vatandaşı öldürmek için oy kullanabilirler (aslında, i = 2 ve c = 1 olmadıkça bunu yapmak her zaman iyidir). Özyineleme kullanmak nedeniyle, vatandaşların masum olduklarına izin vermek ve sayılarını n ile belirtmek daha iyidir.

Kasaba kazanırsa

i = 0, n> = c + 2, i = 1, n> = c + 1, i = 2, n> = c-2 ve buradan genel i Town için bunu görebiliriz (ve kolayca kanıtlayabiliriz) yalnızca n> = c + 2-i ^ 2 ise kazanır. Gerçek oyunda başlangıçta masum vatandaş olmadığı için bu, eğer i ^ 2 = = c + 2 ise Kasabanın kazanacağı anlamına gelir.

Bir araya getirmek: Eğer i <= 2 ise Town'un belirleyici bir kazancı yoktur. İ = 3 için Town 1 <= c <= 7 kazanır (0 M için araştırmacı iddia edebilir ve c> = 8 için vatandaş talep edebilir). İ> = 4 için Town c <= i ^ 2-2 kazanır.