Tersinir rastgele yürüyüşler için kaplama süresi ve spektral boşluk

Böyle bir şey söyleyen bir teorem arıyorum: Tersinir bir Markov zincirinin kapak süresi küçükse, spektral boşluk büyüktür. Burada spektral boşluk$1-|\lambda_2|$yani, zincirin en küçük özdeğerini görmezden geliriz.

Bu yönde bulabildiğim tek sonuç Örtme Süresi Sınırları , Broder ve Karlin, FOCS 88'den geliyor. Burada zincirin geçiş matrisinin iki kat stokastik (ancak mutlaka geri çevrilemez) ve aperiodik olduğu varsayılıyor; kabaca söylemek gerekirse, makale bu varsayımlar altında, teminat süresinin$O(n \log n)$, sonra $1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$en az .$n^{-1}$

Sezgisel olarak, bir grafiğin tüm köşelerini hızlı bir şekilde kaplayabilirseniz, karıştırma süresinin küçük olması çok mantıklı görünmektedir. Özellikle, bir grafiğin tüm köşelerini $n^2$ kez kapsayabilirseniz , kuşkusuz $n^{-1000}$ ?

Küçük örtme süresi ve büyük spektral boşluk arasındaki çıkarımın kırılmasına neden olabilecek olası bir engel, iki taraflılıktır: iki taraflı bir grafikte, öz değeri -1 olan küçük bir örtme süresine sahip olabilirsiniz $-1$. Soruma göre, en küçük öz değeri göz ardı ederek bu sorunu atlıyorum.

Kabaca söylemek gerekirse, karıştırma süresi köşelerin yarısının en kötü vuruş zamanıdır. Örtme süresi , TÜM köşe alt kümelerine basıldığında durma süresidir. Başka bir deyişle, her zaman karıştırma süresinden daha büyüktür. Böylece örnek n karıştırma süresi n ^ {1000}$n^{1000}$ ve kapak süresi n ^ 2 olamaz $n^2$.

Biz, özdeğer boşluğu kez karıştırma ilgisi olmayan yarım köşeleri ama yarım durağan dağılım almak gerekir çünkü bu sezgi hassas yapma bakım biraz gerektirir Bunların hiçbiri zor vb. Karıştırma süresinin yukarıdaki versiyonunu veren ve toplam varyasyonda daha standart karıştırma süresiyle ilişkilendiren Lovasz ve Winkler tarafından hazırlanan bu çalışma ile başlayın . $\pi$