Godel'in ifadesinin özyinelemeli şekilleri mümkün müdür?

P / NP sorununun öz-referansı bazen çözümüne bir engel olarak vurgulanmıştır, örneğin, Scott Aaronson'un makalesi, P'ye karşı NP resmi olarak bağımsız mı? P / NP için akla gelebilecek birçok karardan biri, sorunun resmi olarak ZFC'den bağımsız ya da doğru fakat kanıtlanamaz olduğunun bir göstergesi olacaktır.

Sorunun öz referansının bağımsızlık kanıtlarında daha derin bir zorluk yaratabileceği düşünülebilir, örneğin, eğer onun geçerliliği ile ilgili ifadelerin kendileri kanıtlanamazsa veya akıl yürütmek başka türlü imkansızsa.

Varsayalım bir teorem T Godel_0 doğruysa ancak Godel teoremi anlamında kanıtlanamaz. "T Godel_0" ifadesi doğruysa, ancak kanıtlanamazsa T Godel_1 çağırın. "T Godel _ {(i-1)} ifadesi doğruysa T Godel_i'yi çağırın.

Godel_0 ifadelerinin var olduğunu biliyoruz ve bu makalede olduğu gibi bu amaç için açıkça inşa edilmemiş olan "vahşi doğada" birkaç örnek bulunmuştur .

Sorum şu: Godel_1 veya daha yüksek bir deyimi var mı? Bu tür açıklamalar Godel teoreminin doğal bir sonucu mu?

Hakkında kesinlikle hiçbir şey kanıtlayamayacağımız bir ifadeye ne dersiniz: Yani her k > 0 için T Godel_k?

Cevabın orada "hayır" olduğundan şüphelenmeme rağmen, resmi bağımsızlık için benzer bir soru sorabilirim.

P ve NP sorusuna geri dönmek için, Godel'in teoreminin sınıf ayrılabilirliği ile ilgili bir ipucu olup olmadığını sormama izin verin. Karmaşıklık sınıfları ile ilgili gerçek ama kanıtlanamayan ifadeler tespit edildi mi - elbette, durma problemi ve Godel'in teoremi arasındaki bariz bağlantının ötesinde mi?

Diğerlerinin de belirttiği gibi, sorunuzun açıklamasında bazı teknik zorluklar vardır. Bunları düzeltmek için, "kanıtlanamaz" teriminin kalifikasyon olmadan kullanılmasından kaçınarak başlayalım ve T ifadenizin hangi aksiyomun kanıtlanamayacağı konusunda açık olun. Örneğin, birinci dereceden Peano aritmetiğinin aksiyomları olan PA'dan elde edilemeyen T ifadeleriyle ilgilendiğimizi varsayalım.

İlk sıkıntı, "T doğru" nun, Tarski teoremi tarafından birinci dereceden aritmetik dilinde ifade edilememesidir. Bunu, aritmetik bir ifadenin gerçekliğini tanımlayacak kadar güçlü bir metatheory'de çalışarak çözebiliriz, ancak bence amaçlarınız için bu, gereksiz yere karmaşık bir yol. Bence aslında hakikatle değil, süreklilikle ilgileniyorsun. Yani, eğer T doğruysa fakat PA'da kanıtlanamazsa T'yi Godel_0 olarak tanımlamaktan ve PA'da T kanıtlanamıyorsa ama PA'da "T kanıtlanamazsa" T'yi Godel_1 olarak tanımlamaktan memnun olacağınızdan şüpheleniyorum, ve PA'da T kanıtlanamazsa ve "PA'da T kanıtlanamazsa" T'nin Godel_2 olarak tanımlanması PA'da kanıtlanamaz, ancak "PA'da T kanıtlanamaz" PA'da kanıtlanamaz ", PA'da kanıtlanamaz, vb.

Bu, sorunuzu kesinleştirmek için yeterli, ancak maalesef oldukça önemsiz bir çözüm var. T = "PA tutarlıdır." O zaman T doğrudur, çünkü PA tutarlıdır ve T PA'da Goedel'in 2. eksiklik teoremi tarafından kanıtlanamaz. Ayrıca, "T'de PA'da kanıtlanamaz" da biraz aptalca bir sebeple PA'da kanıtlanamaz: "X, PA'da kanıtlanamaz" biçimindeki herhangi bir ifade PA'da kanıtlanamaz çünkü PA "tutarsızdır" PA tutarsızdır "(tutarsız sistemler her şeyi kanıtladığından ). Bu yüzden T, tüm n için Godel_n'dir, ancak bu gerçekten amaçladığınız soruya ulaşmaz.

Bu tür önemsizliklerden kaçınmak için sorunuzu "düzeltmeye" çalışabiliriz, bunun yerine amaçladığınız soru olduğunu düşündüğümü ele almaya çalışayım. Tacitly, bir teoremi kanıtlamak için gereken mantıksal gücü psikolojik zorluklarla karıştırdığınıza inanıyorum.kanıtlamak. Yani, "T X'te kanıtlanamaz" biçiminin bir sonucunu, T'nin bir şekilde anlama yeteneğimizin ötesinde olduğunu söyleyerek yorumluyorsunuz. Orada bu korkunç varsayımlar var ve biz insanları cezalandırırız PA-kamçı veya ZFC-kamçı ya da bu vahşi hayvanlarda ne var, onları evcilleştirmeye çalışıyorlar. Ama "T'de X'in kanıtlanamaz" ifadesinin "T'nin akla gelmesi imkansız" anlamına geldiği düşünülmüyor. Aksine, sadece T ile ilgili belirli bir teknik özelliği, yani mantıksal gücünü ölçüyor. Öyleyse über-canavarı bulmaya çalışıyorsanız, sadece kanıtlanamaz, aynı zamanda kanıtlanamaz olan vb. Bir şey bulmanın doğru yol olduğunu düşünmüyorum.

Son olarak, kârsızlığın karmaşıklık sınıflarının ayrılabilirliği ile ilgili olup olmadığı hakkındaki sorunuzla ilgili olarak, bazı sınırlı aritmetik sistemlerinde hesaplamaya elverişsizlik ile karsızlık arasında bazı bağlantılar vardır. Bunlardan bazılarına alıntı yaptığınız Aaronson'un makalesinde değinilmiştir; ayrıca Cook ve Nguyen'in İspat Karmaşıklığının Mantıksal Temelleri adlı kitabına bakınız .

Godel_1'un tanımı hakkında pek emin değilim. Biraz daha resmileştirmeyi deneyebilir misiniz?

"T is Godel_0" formülünü nasıl kodlayabilirsiniz? Bunun için, kanıt kavramına başvurmadan "T anlamsal olarak doğru" ifadesini bir şekilde kodlamanız gerekecektir. Nasıl yaparsın?

Her n için Godel_n ifadeleri vardır. George Boolos'un bir kitabı olan Tutarsızlığın Karsızlığı ile ilgileniyor olabilirsiniz. Box'un "kanıtlanabilir," Elmas "tutarlı" anlamına geldiği ve daha sonra Godel tipi cümlelerin davranışını araştırmaya devam ettiği bir model mantığı tanımlar. (Ayrıca bir takip kitabı, Olanak Mantık da yazdı.)