Kısmi siparişlerin doğrusal uzantıları üzerine bir soru

Bir kısmi sipariş koleksiyonuna sahipseniz, topolojik sıralama, koleksiyonun toplam siparişe bir uzantısı olup olmadığını size bildirir (bu durumda bir uzantı, kısmi siparişlerin her biriyle tutarlı bir toplam sipariştir).

Bir varyasyonla karşılaştım:

Bir dizi düzeltme . Size tekrarlama yapılmadan çizilen öğelerin dizileri (diziler 1 ile arasında uzunluktadır ). $V$ $\sigma_1, \ldots \sigma_k$ $V$ $|V|$

Dizilerin her biri için yönleri (ileri veya geri) sabitlemenin bir yolu var mı, böylece ortaya çıkan zincir koleksiyonu (kısmi bir düzen olarak görüntülenir) bir uzantıyı kabul ediyor mu?

Bu sorun iyi mi biliniyor?

Not: Yön, tüm sekans için seçilir. Yani dizi , onu bu şekilde tutabilir veya , ancak başka bir şey yapamazsınız. $1-2-4-5$ $5-4-2-1$

ds.algorithms reference-request order-theory

— Suresh Venkat
kaynak

Sekansların her biri uzunluğundaysa, o zaman her sekansı yönlendirilmemiş bir kenar olarak düşünebiliriz ve eğer yönlendirilmemiş bir grafiğin döngü yoksa DAG - iff olarak yönlendirilip yönlendirilemeyeceğini soruyoruz. Ancak açgözlü bir algoritma da işe yarıyor. Bir kenarla başlayın ve keyfi olarak yönlendirin ve mümkün olduğunca uzun süre devam edin ve sıkışırsanız bunun mümkün olmadığını bilirsiniz. Bunu varyasyonunuz için denediniz mi? Sanki işe yarayabilir.

2

$2$

— Chandra Chekuri

Her yönlendirilmemiş grafik bir DAG olarak yönlendirilebilir. Sadece köşelerin bir sırasını seçin ve kenarları yönlendirmek için bu sırayı kullanın.

— David Eppstein

Tabii ki haklısın, doğru düşünmüyorum.

— Chandra Chekuri

Varyasyonumda her alt dizinin uzunluğu tam olarak 4, bu yüzden Yury'nin cevabı devreye giriyor. Bu noktada tek umudum, alt dizilerin çok özel bir yapıya sahip olması ve birbiriyle ilişkili olması, belki de soruna özgü bir şey yardımcı olacaktır. Ama genel bir çekiç yok.

— Suresh Venkat

Her sekansın uzunluğu 3 ise, problem Aralılık olarak bilinir . Arasındalık sorunu bile NP-zordur. Bu problemde, bir dizi köşe noktası ve formunun bir dizi kısıtlaması ve arasındadır . Amacımız, tatmin edici kısıtlamaların sayısını en üst düzeye çıkarmak için tüm köşeleri sipariş etmektir. Opantry [1] bu sorunun karar versiyonunun NP açısından zor olduğunu kanıtlamıştır. Chor ve Sudan [2] bunun SNP açısından zor olduğunu kanıtladılar. $u$ $v$ $w$

Chor ve Sudan tarafından problem için en iyi bilinen yaklaşım algoritması, örneğin tamamen tatmin edilebilir olması durumunda tüm kısıtlamaların 1 / 2'sini karşılar.

[1] J. Opantry. Toplam Sipariş Sorunu, SIAM Bilişim Dergisi , 8 (1): 111—114, Şubat 1979.

[2] B. Chor ve M. Sudan. Aralığa geometrik bir yaklaşım , SIAM Ayrık Matematik Dergisi, 11 (4): 511-523, Kasım 1998.

Düzenlemeler: sorunun karar sürümünün NP-zor olduğu açıklığa kavuşturuldu.

— Yury
kaynak

Yury, bu, tüm kısıtlamaların karşılanıp karşılanamayacağına dair karar sorununun da zor olduğu anlamına mı geliyor?

— Chandra Chekuri

Evet, karar sorunu NP zor. Ayrıca, bazı için, tüm kısıtlamaların fraksiyonunu bile karşılamak NP-zordur (yani karşılık gelen vaat problemi NP-zordur).

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

1 - ϵ

$1-\epsilon$

— Yury

Örnek tamamen tatmin edici değilse , sorun çok zordur: elbette, rastgele bir sipariş alarak tüm kısıtlamaların / karşılayabilirsiniz ; ancak her sabit için [Charikar, Guruswami, Manokaran - CCC 2009] ise, tüm kısıtlamaların karşılamak UGC zordur .

1 / 3

$1/3$

1 / 3 + ε

$1/3+ \varepsilon$

O P T = 1 - ε

$OPT = 1 -\varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

— Yury

sorum aptalca olabilir. ama 3-düzenli ( tüm ) sertlik doğal olarak 4- mi uzanıyor?

| σ_{i} | = 3

$|\sigma_i| =3$

i

$i$

— Yixin Cao

Evet, işte bir azalma. 3 düzenli bir örneği düşünün . Her dizi için yeni bir değişkeni . Let bir sekans ekleyerek elde edilebilir sonuna . köşelerinde dizileri olan 4 düzenli bir örneği . Kadar görmek kolaydır karşılanabilir ise karşılanabilir oldu - için çözüm almak , her koyun ya tüm tepe noktaları önce veya tüm köşeler de sonra

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

σ_{i}^{'}

$\sigma_i'$

y_{i}

$y_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

I^{'}

${\cal I}'$

V \cup {y_{i}}

$V \cup\{y_i\}$

{σ_{i}^{'}}

$\{\sigma_i'\}$

I^{'}

${\cal I}'$

I

${\cal I}$

I

${\cal I}$

y_{i}

$y_i$

V

$V$

V

$V$ yönüne bağlı olarak ( göreli sırası önemsizdir).

σ_{i}

$\sigma_i$

{y_{i}}

$\{y_i\}$

— Yury