Bir Mekanizma Tasarım Kanıtını Anlamak

Bu yazıda açık artırma teorisine ilişkin bir kanıtın teknik detaylarıyla uğraşıyorum: http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

Özellikle, Teorem 2.5: Doğru bir mekanizma için gerekli ve yeterli koşullar.

Daha da spesifik olarak, 6. sayfada verilen ispatın ileri yönü. $v_i$ve genel, muhtemelen yanlış bir değer (ör. bir teklif) olarak $b_i$yazar iki ek miktar daha varsaymaya devam eder, $z_1$ ve $z_2$.

Daha sonra şunu şart koşar: $v_i = z_1$, $b_i = z_2$makalenin önceki çalışmasına dayanan bir eşitsizlik ortaya çıkarır.

Ayrıca şunu da şart koşar: $v_i = z_2$, $b_i = z_1$makalenin önceki çalışmasına bağlı olarak benzer ancak farklı bir eşitsizlik ortaya çıkarmaktadır.

Tamam, yeterince adil. Daha sonra bir eşitsizliği diğerinden çıkarır ve sonuçta ortaya çıkan cebir temelinde istenen sonucunu elde etmeye devam eder. Çıkarmanın neden haklı olduğunu anlamıyorum - tamamen farklı (aslında zıt) varsayımlara dayanan iki eşitsizliği çıkartıyor gibi görünüyor ve bunu her gördüğümde şiddetli bir şekilde düşünce trendinden atıyorum.

Bu temel yaklaşımı başka bir şeyde gördüğümden eminim (Shoham ve Leyton-Brown'un kitabı? Kontrol etmek için elimde yok), bu yüzden ortak bir fikir gibi görünüyor, ama geçemiyorum. Biri bunun neden geçerli olduğunu anlamamda veya eksik olduğumu açıklamamda bana yardımcı olabilir mi?

(Üç değeri varsayarak istenen sonucu kanıtlamaya çalıştım - gerçek bir değer $v_i$ve iki teklif, $b_1$ ve $b_2$- istediği sonucu almak için, ama aynı zamanda başarısız oldu. Bu yüzden sadece yaygın değil, aynı zamanda yazarın yolunu yapmak da gerekli olabilir. Ama hala anlamıyorum.)

Güncelleme: Shoham ve Leyton-Brown kitabında benzer bir şey gördüğümü biliyordum . Tam olarak aynı değil, ama çok benzer ve aynı denklem ve konu ile ilgileniyor. Teorem 10.4.3'ün 1. Örneği.

Doğru mekanizmalar bağlamından başlayarak, önce doğru bir $v_i$ ve yanlış $v_i'$ ve ödemenin $v_i$ , ödemeye göre daha az veya ona eşittir $v_i'$, Örneğin, $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$. Sonra tam tersini, gerçek$v_i'$ ve yanlış $v_i$ve ters sonucu elde ederek, ödemenin $v_i'$ dayalı ödeme daha az $v_i$, Örneğin, $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$. Tamam, bu mantıklı.

Daha sonra, ödemelerin $v_i$ ve $v_i'$ sanki diyorlarmış gibi eşit olmalı $P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$ ve $P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$ sadece farklı değil, zıt varsayımların bir sonucu olsalar da, aynı anda doğrudur.

Cevap, mekanizmanın olası her tip için doğru olması gerektiğidir : mekanizma, hangisinin önceden doğru türlerin hangisi olduğunu bilmiyor. Yani bir çift türü için$v_i$ ve $v_i'$, bir ajanın gerçek türü ise mekanizma doğru olmalıdır $v_i$: yani teklif verirse faydası daha büyük olmalıdır $v_i$ teklif etmekten daha $v_i'$. Ancak, ajanın gerçek türü ise mekanizma da doğru olmalıdır.$v_i'$! Sonuçta, mekanizma söz konusu olduğunda, olabilir! Dolayısıyla, bu durumda, teklif veren bir acentenin faydası daha büyük olmalıdır$v_i'$ ile karşılaştırıldığında $v_i$.

Mesele şu ki, doğruluk, aynı mekanizmaya aynı anda birçok farklı eşitsizlik getiriyor: bir ajanın sahip olabileceği her tip için ve düşünebileceği her sapma için. Hepsi tutuyor. Bu kanıt bu eşitsizliklerin sadece ikisini kullanıyor

Bence istediğin şey şu öneri.

Önerme. İzin Vermek$V$ ve $A$set olabilir. İzin Vermek$f:V^n\to A$ ve $p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$. Varsayalım ki herkes için$i,x_i,y_i,v_{−i}$ sahibiz

$$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$$ Sonra herkes için $i,v_i,v'_i,v_{-i}$ sahibiz $$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$$

Kanıt. koymak$x_i=v_i$ ve $y_i=v'_i$ sahibiz

$$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$$ koymak $x_i=v_i$ ve $y_i=v'_i$ sahibiz $$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$$ Sonuç, bu eşitsizlikleri ekleyerek ve yeniden düzenleyerek gerçekleşir.

Bu önerinin mekanizma tasarımı yorumu, her teşvik uyumlu (yani strateji kanıtı, yani doğruluk) mekanizmanın "zayıf tekdüzeliğe" sahip olmasıdır.

Bazı nedenlerden dolayı, gerçek tekliflere ve yalanlara atıfta bulunarak tartışmak gelenekseldir. Bu bağlamda, "true" ve "lie" sadece "x" ve "y" gibi değişken isimlerdir. Gerçek bağımsız teklif ile yalan arasında resmi bir fark bulunmadığından, aynı adı farklı argümanlarda farklı şeylere atıfta bulunmak için kullanmakta fayda vardır.