Bağımlı kayıtlar için parametriklik ve projektif eliminasyonlar

Sistem F'de ikili ürünleri türüyle kodlayabileceğiniz iyi bilinmektedir Daha sonra projeksiyon işlevlerini ve .

A \times B ≜ \forall α . (A \to B \to α) \to α

$A \times B \triangleq \forall\alpha.\; (A \to B \to \alpha) \to \alpha$

π_{1} : A \times B \to A

$\pi_1 : A \times B \to A$

π_{2} : A \times B \to B

$\pi_2 : A \times B \to B$

F türünün doğal okuması, let stili eleme olan bir çift olsa da bu şaşırtıcı değildir $\mathsf{let}\;(x,y) = p \;\mathsf{in}\; e$ , çünkü iki tür çift sezgisel mantıkla birbirinden ayrılabilir.

Şimdi, kestirimsel niceliğe sahip bağımlı bir tür teorisinde, bağımlı bir kayıt türünü kodlamak için aynı modeli takip edebilirsiniz $\Sigma x:A.\; B[x]$ olarak

Σ x : A . B [x] ≜ \forall α . (Π x : A . B [x] \to α) \to α

$\Sigma x:A.\;B[x] \triangleq \forall\alpha.\; (\Pi x:A.\; B[x] \to \alpha) \to \alpha$ Ancak bu durumda, projektif eliminatörleri tanımlamanın basit bir yolu yoktur

π_{1} : Σ x : A . B [x] \to A

$\pi_1 : \Sigma x:A.\;B[x] \to A$ ve

π_{2} : Π p : (Σ x : A . B [x]) . B [π_{1} p]

$\pi_2 : \Pi p:(\Sigma x:A.\;B[x]).\; B[\pi_1\,p]$ .

Ancak, tür teorisi parametrikse, $\pi_2$ tanımlanabilir olduğunu göstermek için parametrikliği kullanabilirsiniz . Bu biliniyor gibi görünüyor - örneğin, Dan Doel tarafından yorum yapmadan aldığı bu Agda gelişimi - ama bu gerçek için bir referans bulamıyorum.

Parametrikliğin bağımlı tipler için projektif elimasyonların tanımlanmasına izin verdiğine dair bir referans biliyor mu?

DÜZENLEME: Şimdiye kadar bulduğum en yakın şey Herman Geuvers'ın 2001 tarihli bu makalesi, İndüksiyon, parametriklik olmadan yapamayacağınızı kanıtladığı ikinci dereceden bağımlı tip teorisinde türetilemez .

— Neel Krishnaswami
kaynak

Bu yazıdan sorunun ne olduğunu söyleyemem. (Alan hakkında hiçbir şey bilmiyorum ve yine de bilmezdim, ama soruyu ifade etmek istiyorum)

— Vijay D

Düzenlemenin üzerine açık bir soru satırı ekledim. Bu yardımcı olur mu?

— Neel Krishnaswami

Evet. Başlangıçta sadece bir referans isteği ya da bir kanıt isteği olup olmadığından emin değildim. Etrafa soracağım.

— Vijay D

Birkaç ay önce burada bir tartışma yaptım: queuea9.wordpress.com/2012/03/28/why-not-lambda-encode-data ve parametriklik-> eleme prensibinin Dan'ın folklor / orijinal çalışması olduğuna inanıyorum. Bu tartışmalar J.-P.'nin parametrikliği ile ilgili diğerlerine yakındır. Bernardi. Coq standart kütüphane gelişmelerine bağımlı meblağlarla ilgili bir göz atmak isteyebilirsiniz: coq.inria.fr/stdlib/Coq.Init.Specif.html ve belki coq.inria.fr/stdlib/Coq.Logic.EqdepFacts.html#

— cody

@kvb: Henüz olumlu bir yanıt olduğunu sanmıyorum. Yapılarda Matematik (içinde parametricity üzerine (derek Dreyer ile) Benim son taslakta mpi-sws.org/~neelk/internalizing-parametricity.pdf ), söz konusu parametricity yapar göstermek ses Eğer güçlü elims çıkalım aksiyomlarını eklemek Kilise kodlama. Bununla birlikte, parametrikliği iyi hesaplayacak şekilde nasıl içselleştireceğimize dair henüz iyi bir hikayemiz yok (büyük olasılıkla JP Bernardy'nin yöntemlerini tip teorimize entegre etmemiz gerekiyor). Bu imkansız görünmüyor, ama henüz nasıl yapacağımızı bilmiyoruz.

— Neel Krishnaswami

Az önce Dan Doel ile konuştum ve referansının aslında bir Neel Krishnaswami olduğunu açıkladı. Sizin tarafınızdan n-cafe hakkında, parametrikliği kullanarak güçlü bir indüksiyon yapabileceğine dair bir yorum gördü, bu yüzden devam etti ve bir egzersiz olarak yaptı, sigma için yapmanın yeni bir sonuç olduğunu fark etmedi.

Kesin alıntı: "Referansım o idi. Bunun mümkün olduğunu söylediğini düşündüm, bu yüzden yaptım."

— sclv
kaynak