Lambda hesabı modellerinin genişlemesi

LISP üzerine bir kitap çeviriyorum ve doğal olarak -calculus'un bazı unsurlarına dokunuyor. Bu nedenle, bazı -calculus modellerinin yanı sıra uzatma kavramından bahsedilmektedir : ve (evet, sonsuzluk üstte). Ve söz konusu olduğu isimli yayma ise değildir. $\lambda$ $\lambda$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$

Ama ... Barendregt'in Lambda Kalkülüsüne bakıyordum , Sözdizimi ve Anlambilimi , ve (umarım, doğru) tam tersini okudum: genişlemiyor, . $\mathcal{P}_\omega$ $D_\infty$

Bu garip model hakkında bilen var mı ? aynı model olabilir , ancak yanlış yazılmış olabilir mi? Modellerin genişletilebilirliği konusunda haklı mıyım? $D^\infty$ $D_\infty$

Teşekkürler.

— Chris
kaynak

LISP kitabı için bağlam vermek ister misiniz? Sonuçlara veya bahsettiği modellere referanslar var mı?

— cody

Evet, Christian Queinnec'in Küçük Parçalar'daki LISP'si , s. 153. Sözü edilen alıntı: [...] O zamandan beri, özellikler birkaç farklı şekilde genişletildi ve birkaç farklı model üretildi: [Sco76, Sto77] 'de veya . [...] Garip bir şekilde, çünkü her noktada aynı şeyi hesaplayan iki fonksiyon eşittir, oysa genişlemez. [...] Sco76 Dana Scotts Veri Tiplerini temsil eder Kafesler . Sto77, Joseph Stoys'un Seslendirme Semantiği: Programlama Dili Teorisine Scott-Stachey Yaklaşımı anlamına gelir .

D^{\infty}

$D^\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

P_{ω}

$P_\omega$

D^{\infty}

$D^\infty$

— Chris

Teşekkürler! Bu durumda, bir yazım hatası olması muhtemeldir, , anlamına gelir ve genişleme olmayan .

D^{\infty}

$D^\infty$

D_{\infty}

$D_\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

— cody

kanunun geldiğini Bu ne demek ise, grafik modeli olduğu değil Dana Scott'ın ederken, genişlemeli olan (sanırım Dana Scott'ın modelidir - taşı).

(\forall x . f x = g x) ⟹ f = g .

$(\forall x . f x = g x) \implies f = g.$

P ω

$\mathcal{P}\omega$

D_{\infty}

$D_\infty$

D^{\infty}

$D^\infty$

β ξ η λ

$\beta\xi\eta\lambda$

Bunu görmek için nın sürekli haritalar alanının , yani sürekli haritalar ve öyle ki ancak . Verilen , uygulama olarak yorumlanır . Şimdi $\mathcal{P}\omega$ $[\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$ $\mathcal{P}\omega$

Λ : P ω \to [P ω \to P ω]

$\Lambda : \mathcal{P}\omega \to [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$

Γ : [P ω \to P ω] \to P ω

$\Gamma : [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega] \to \mathcal{P}\omega$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

u, v \in P ω

$u, v \in \mathcal{P}\omega$

u v

$u v$

Λ (u) (v)

$\Lambda(u)(v)$

u

$u$ ve öyle ki ama (bunlar ). Sonra tüm için henüz . Uzama kabiliyeti ihlal edilmiştir.

u^{'}

$u'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Λ (u) = Λ (v)

$\Lambda(u) = \Lambda(v)$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

v

$v$

u v = u v^{'}

$u v = u v'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Buna karşılık, olduğu izomorfik için , yani sürekli haritaları vardır ve birbirinin tersidir. düşünün tüm için olduğunu varsayalım . Bu tüm için anlamına gelir , dolayısıyla ve böylece . Yaygınlık kurulur. $[D_\infty \to D_\infty]$ $D_\infty$

Λ : D_{\infty} \to [D_{\infty} \to D_{\infty}]

$\Lambda : D_\infty \to [D_\infty \to D_\infty]$

Γ : [D_{\infty} \to D_{\infty}] \to D_{\infty}

$\Gamma : [D_\infty \to D_\infty] \to D_\infty$

u, u^{'} \in D_{\infty}

$u, u' \in D_\infty$

u v = u^{'} v

$u v = u' v$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) (v) = Λ (u^{'}) (v)

$\Lambda(u)(v) = \Lambda(u')(v)$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) = Λ (u^{'})

$\Lambda(u) = \Lambda(u')$

u = Γ (Λ (u)) = Γ (Λ (u^{'})) = u^{'}

$u = \Gamma(\Lambda(u)) = \Gamma(\Lambda(u')) = u'$

Genişlemenin nin bir sonucu olduğunu görüyoruz . için diğer denklem ne yarar? Bunun için nasıl hatırlamak zorunda : -abstraction yorumlanır bir deyişle, bir ekspresyon , bir değişken ile yorumlanabilir götüren bir harita olarak için . Sonra soyutlama , bu işlevin görüntüsü olarak yorumlanır . Şimdi gelen elde ederiz $\Gamma \circ \Lambda = \mathrm{id}$ $\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$ $\lambda$

λ X . u (X) = Γ (v \mapsto u (v))

$\lambda X. u(X) = \Gamma (v \mapsto u(v))$

u (X)

$u(X)$

X

$X$

v

$v$

u (v)

$u(v)$

λ

$\lambda$

λ X . u (X)

$\lambda X . u(X)$

Γ

$\Gamma$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

(λ X . u (X)) w = Λ (Γ (v \mapsto u (v))) (w) = (v \mapsto u (v)) (w) = u (w)

$(\lambda X . u(X)) w = \Lambda (\Gamma (v \mapsto u(v))) (w) = (v \mapsto u(v))(w) = u(w)$ hangi sadece indirgeme.

β

$\beta$

— Andrej Bauer
kaynak

Çok teşekkürler. O zaman kitapta gerçek bir hata olduğunu varsayacağım. Bu mümkün olabilir, çünkü kitabın kendisi Fransızca'dan bir çeviri ve orijinal kitabın o paragrafında bazı çift olumsuzlama maskaralıkları veya bunun gibi bir şey olabilir. Ne yazık ki, en azından kontrol etmeye çalışacak bir Fransız yok.

— Chris

Fransızca ilgisiz, gözlerinizin önünde kanıt var.

— Andrej Bauer

Bu arada, LIPS hesabının bir uzantısı değildir , sadece bundan esinlenmiştir. Tabii ki bir uzatma olarak düşünülebilir, ancak Şema'da uzamsallık hesaplama etkilerinin varlığı nedeniyle kötü bir şekilde başarısız olur.

λ

$\lambda$

— Andrej Bauer