Devre alt sınırları ve kolmogorov karmaşıklığı

Aşağıdaki sebepleri göz önünde bulundurun:

Let belirtmek Kolmogorov karmaşıklığı dize ait . Chaitin'in eksiklik teoremi şöyle diyor $K(x)$ $x$

herhangi bir tutarlı ve yeterince güçlü resmi bir sistem için , sabit vardır herhangi şeritler için böyle (resmi sistemi ve diline tek olarak) , kanıtlayamayacaklarını . $S$ $T$ $x$ $S$ $K(x) \geq T$

Let bir Boole fonksiyonu kendi yelpazenin Kolmogorov karmaşıklığı en fazla olduğu değişkenler st . Let devre karmaşıklığını olmak yani en az devre işlem büyüklüğü, . $f_n$ $n$ $k$ $S(f_n)$ $f_n$ $f_n$

Üst için üzerine bağlanmış bir (kaba) olduğu sabit için ve a, yoğun bir kunduz bir durdurulması fonksiyonu (mümkün olan maksimum adımlar Torna tezgahı ile beden tanımı yapılabilir ( ). ( Spektrumdaki her için, karşılık gelen doğruluk atamasının mintermini oluşturun ve tüm bu mintermlerin OR'unu birlikte alın.) $S(f_n)$

S (f_{n}) \leq c \cdot B B (k) \cdot n

$S(f_n)\leq c\cdot BB(k) \cdot n$

c

$c$

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

1

$1$

Boole fonksiyonları sonsuz ailesi için şimdi varsayalım , bunu resmi bir kanıt var superlinear boyut devreleri, yani gerektirir $L = \{f_n\}_{n}$ $L$

S ⊢ \forall n \geq n_{0}, g (n) \cdot n \leq S (f_{n})

$S \vdash \forall n \geq n_0, \ g(n)\cdot n \leq S(f_n)$ burada .

g (n) \in ω (1)

$g(n)\in \omega(1)$

Biz alırsak yeterince büyük olması nedeniyle, olacaktır $n$

g (n) > c \cdot B B (T)

$g(n) > c\cdot BB(T)$

Özellikle, bu, spektrumunun Kolmogorov karmaşıklığının , en azından olduğu ve bunun imkansız olduğu bir kanıtı olacaktır . $f_n$ $T$

Bu iki soruya yol açar:

1) Yukarıdaki akıl yürütmede yanlış bir şeyler olmalı. Esas olarak, süperliner devreleri daha düşük sınırlar resmen kanıtlanamaz hale getireceği için.

2) Alt sınırların bariyerlerini göstermek için benzer yaklaşımlar biliyor musunuz, yani belirli ((devre) alt sınır tiplerinin resmen kanıtlanamaz olduğunu gösteriyor?

— Magnus Bul
kaynak

ilginç fikirler razborov / rudich kanıtı ile ilgili olarak, P = NP NP’in önündeki engelleri belirten “doğal kanıtlar” (ancak muhtemelen makalede örnek olarak listelenen diğer karmaşıklık sınıfı ayrımları için de uygulanabilir) .. o makaleyi okudunuz mu? ayrıca bakınız engeller P =? NP ve engeller / monoton devre karmaşıklığı . Görünüşe göre karmaşıklık sınıfı ayrımları yapı olarak çözülemezlik kanıtlarına benzer.

— vzn

f_n'in “spektrumu” nu detaylandırabilir misiniz? soruyu "spektrum" a atıf yapmadan ifade etmenin bir yolu var mı?

— vzn

muhtemelen, bunları hesaplayan en küçük TM'yi (durum tablosu / durumları anlamında) inceleyerek fonksiyonların karmaşıklığını inceleyebileceği ve bunun kabaca daha düşük devre sınırlarını karşılayacağı doğrudur. En küçük TM'yi bulmanın gerçekten zor olmaktan ziyade imkansız olduğunu gösterebilirseniz, orada bir şeyler olabilir. bununla birlikte, en küçük TM'yi, devrelerin ya da TM'lerin kanonik sayımıyla bulmak "basittir". Bu yaklaşımın neden işe yaradığını düşünürseniz, sorunun neden bir soruna yol açmadığını anlamakta yardımcı olabilir.

— vzn

Sağ. Referanslar için teşekkürler. Doğal Kanıtlar kağıtlarını biliyorum. Sorunun "spektrum" olmadan formüle edilip edilmediğini bilmiyorum. "Spektrum" ile kastedilen, dizilimdir

(f (0, 0, . ., 0), f (0, 0, . ., 1), . ., f (1, 1, . ., 1))

$(f(0,0,..,0),f(0,0,..,1),..,f(1,1,..,1))$

— Magnus

Yanıtlar:

Argümanında yanlış olan bir şey yok, ama çelişki yok. Yeterince büyük bir miktarda spektrumunun Kolmogorov karmaşıklığının her zaman en az olduğunu . Ancak bu ifade önemsiz doğrudur! Bir dizgenin Kolmogorov karmaşıklığının büyük olduğunu kanıtlayamasak da, bir dizimiz varsa, o zaman bir noktadan sadece büyük karmaşıklık dizeleri içermelidir. Peki bu sahip olduğun nedir? Bu uygun olmalıdır , biz hesaplanamaz bir sayı (çünkü ne ), bu yüzden hiç bir sorun yoktur. $N$ $f_n$ $T$ $N$ $N>g^{-1}(c \cdot BB(T))$ $BB$

— domotorp
kaynak

Teşekkür ederim. Birinin N'nin yeterince büyük bir değerini "seçebileceğine" inanma tuzağına düştüm, ancak bunun içinde mümkün olmadığını ve sizin de doğru bir şekilde belirttiğiniz gibi, bu aslında herhangi bir aile için geçerli olacağını belirtti. artan diziler.

S

$S$

— Magnus,

İşte daha basit bir problemli durum. Let (lexicographic sırayla) ilk dize olmak öyle ki ; Böyle bir dize tüm için kanıtlanabilir . Sonra . $A(k)$ $K(A(k)) \geq k$ $k$ $K(A(k)) \geq k$

Suçlu, biçimsel sistemin hesaplayamaması olabilir . $BB(T)$

Düzenleme: İşte "daha açık" sorunlu bir durum. Let Kolmogorov karmaşıklığı en bir dizeye maksimal uzunluğu ; kesinlikle var. Sonra . $\alpha(k)$ $k$ $\alpha(k)$ $K(0^{\alpha(k)+1}) > k$

— Yuval Filmus
kaynak

Bu durum neden sorunlu? Çıkışı A (k) olacak ve uzunluğu k'dan az olacak bir program vermediniz.

— domotorp

Ben Dömötör aynı karışıklığı var, ama OP'ın akıl ile bir sorun resmi bir sistem üzerinde üst sınırları kanıtlamak mümkün olmayacak olduğunu kabul yeterince büyük için .

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

— Sasho Nikolov

Orijinal soru ile aynı anlamda (tartışmalı) sorunlu.

— Yuval Filmus,

Hala anlamadım. Kolmogorov'un karmaşıklığının büyük olduğuna dair bir ip ve kanıt göstermiyorsunuz. Karmaşıklığı büyük olan bir dize bulunduğuna dair bir kanıt sergiliyorsunuz.

— Sasho Nikolov

Farklı şekillerde sorunlu olduklarını düşünüyorum. Okuduğum gibi, kanıtı olmayan belirli bir doğru ifadeye işaret ediyorsunuz. Soruma sorduğumda, kanıtlanamayan bir şeyin kanıtı olduğunu işaret ediyorum.

— Magnus