Teoride hata düzeltme kodlarının kullanılması

Teoride hata düzeltme kodlarının yanı sıra hata düzeltme kodlarının uygulamaları nelerdir? Üç uygulamanın farkındayım: Sert çekirdekli bit hakkında Goldreich-Levin teoremi , Trevisan'ın çıkarıcı yapısı ve boolean fonksiyonunun sertliğinin yükseltilmesi (Sudan-Trevisan-Vadhan).

Hata düzeltme kodlarının diğer 'ciddi' veya 'eğlence amaçlı' uygulamaları nelerdir?

UPD: Reed-Solomon kodlarının liste kodunun çözülmesinin eğlenceli bir uygulaması , 20 soru oyununun (ve başka , daha basit, varyasyonun) belirli bir varyasyonuna bir çözümdür .

İşte iletişim karmaşıklığı ile ilgili basit bir uygulama (şu anda gördüğüm gibi, Andy Drucker'ın blogunda yaptığı bir yorumda derandomlaştırma bağlamı dışında):

Varsayalım Alice ve Bob dizeleri verilmiştir ve y , sırasıyla, arasında Hamming uzaklığı eğer öğrenmek isteyen x ve y en olduğu £ değerinin N ( ε bazı sabit sabittir). Bu sorunun alt sınırını belirleyen bir iletişim karmaşıklığını kanıtlamak istiyoruz. Gözlem bu soruna bir belirleyici protokol iki dizeleri eşitliği kontrol etmek için mermi aynı sayıda deterministik protokol vermesidir bir ve b uzunluğu c , n burada C < 1 olan bir sabit bağlı olarak $x$$y$$x$$y$$\epsilon n$$\epsilon$$a$$b$$cn$$c<1$$\epsilon$. Neden? Eşitliğini kontrol etmek için ve b , Alice ve Bob ilk sorun için protokol çalışabilir C ( a ) ve C ( b ) Cı- mesafe, en az bir hata düzeltme kodu £ değerinin . Eşitlik problemi için kolay bir lineer alt sınır olduğundan, bu aynı zamanda ilk problem için deterministik bir lineer alt sınır verir.$a$$b$$C(a)$$C(b)$$C$$\epsilon$

Teorik bilgisayar bilimlerinde çok sayıda hata düzeltme kodu uygulaması vardır.

[Yukarıda bahsetmediğimi sandığım] klasik bir uygulama, rastgelelik çıkarıcıların / örnekleyicilerin inşasıdır; bakınız, örneğin, burada: http://people.seas.harvard.edu/~salil/cs225/spring09/lecnotes/list.htm

Ayrıca kriptografiye yönelik pek çok uygulama var ve bilgili okurlardan birinin detaylandırmaktan mutluluk duyacağından eminim :)

İşte yeni bir uygulama, preslerin sıcak! Or Meir'in yeni ECCC raporunda şöyle özetlenmiştir:

IP = PSPACE'in (Lund ve diğ. Ve J. ACM 39 (4) 'deki Shamir) olduğunu iddia eden IP teoremi, karmaşıklık teorisinin en önemli başarılarından biridir. Teoremin bilinen kanıtları, ölçülen bir Boole formülü ile ilgili bir polinomu dönüştüren aritmetleme tekniğine dayanmaktadır. Polinom kullanımının altında yatan sezgi, genel olarak polinomların iyi hata düzeltme kodları oluşturduğu gerçeğiyle açıklanmaktadır. Bununla birlikte, bilinen kanıtlar, polinomların kullanımına özel görünmektedir ve rastgele hata düzeltme kodları için genelleme yapmamaktadır.

Bu çalışmada IP teoreminin genel hata düzeltme kodları kullanılarak ispatlanabileceğini gösterdik. Bunun, söz konusu sezgi için sıkı bir temel oluşturduğuna ve IP teoremine daha fazla ışık tuttuğuna inanıyoruz.

Steganografi ve gizli hesaplama (başlangıç kağıtları bir dizi vardır burada temelde hata düzeltme kodları gerektirir). Keyfi bir dağıtımdan bir kanaldaki gürültü olarak çıkması için başarısız çağrılarını modellediler.

Diğer birkaç örnek:

• $\epsilon$$\epsilon$

• SODA'08 Ailon-Liberty'de geliştirilmiş hızlı randomize boyutsallık azalması (Fast Johnson-Lindenstrauss Dönüşümü) .

Hata düzeltme kodları, bilgi uzlaşma sorununu çözmek için kriptografide kullanılır : Alice ve Bob, sırasıyla X ve Y dizgilerinden başlayarak (ilişkili) dizgilerden başlayarak K anahtarında hemfikir olmak ister. (Bu duruma bir örnek, Alice’in Bob’a X göndermesiyle birlikte gürültülü bir kanala dayanan bir protokoldür.) Bir çözüm, Alice’in Bob’e bilgileri C’yi düzeltmek için bazı hatalar göndermesini sağlamaktır. o kadar basit değil: C rakip Havva'ya bazı bilgiler sızdırdığı için gizli anahtarı türetmek için gizlilik güçlendirmesi yapmamız gerekiyor. Bu, kalan karma lemma tarafından garanti edildiği gibi, 2 evrensel bir karma işleviyle yapılabilir.

Son zamanlarda, bulanık özütleyiciler , gürültüye toleranslı bir özütleyici çeşidi olarak tanıtıldı: bunlar, W girişinden düzgün bir şekilde rastgele bir dizgi (R) çıkarırlar ve ayrıca girdi, benzer bir W dizisine, eğer rastgele dizgiye değişirse, bir "parmak izi" P üretirler. R, P ve W 'den elde edilebilir. Bulanık çıkarıcıların yapımı aynı zamanda hata düzeltme kodlarına dayanır.

Andy Drucker, Trevisan [Tre04] tarafından yapılan ankete bir başka cevabın yorumunda çoktan değindi , ancak bence daha büyük bir yazı tipinde belirtilmesi gerekiyor!

[Tre04] Luca Trevisan. Hesaplama karmaşıklığındaki bazı kodlama teorisi uygulamaları. Quaderni di Matematica , 13: 347–424, 2004. http://www.cs.berkeley.edu/~luca/pubs/codingsurvey.pdf

Aslında, Dana'nın bahsettiği gibi, pek çok örnek var.

Hataya dayanıklılık hesaplamasında hata düzeltme kodları çok önemlidir. Ben 1988’de Ben-Or Goldwasser ve Wigderson Completeness Teorislerinin Kriptografik Olmayan Hata Toleranslı Dağıtılmış Hesaplama için yazdıklarını ve açıkça hata düzeltme kodları göstermediğini belirten ECC lezzetine sahip olduklarını düşünüyorum.

Elbette, hataya toleranslı kuantum hesaplamasına izin veren "eşik teoremi", normal ECC'nin kuantum analogları olan kuantum hatası düzeltme kodlarına çok önemli bir şekilde dayanır.
( Eşik teoremi için Wikipedia makalesi kesinlikle çalışmaya ihtiyaç duyuyor; ancak kuantum hata düzeltmesi ile ilgili makale daha iyi.)

Check out "hata düzeltme kodları" ile etiketlenmiş ECCC kağıtları listesini .

Bu listeye bakıldığında, hata düzeltme kodları ile PCP'ler arasında bir bağlantı olduğunu göreceksiniz (bunu bir uygulamayı "yalnızca kendi kendini düzeltmenin ötesinde" ötesinde bir uygulama olarak kabul edip etmeyeceğinizi bilmiyorum) ve ayrıca PAC öğrenme .

Hata düzeltme kodlarının belirli bir pratik durumda nasıl kullanıldığına dair çok güzel bir açıklama için:

Kompakt Diskin Matematiği, Jack H. Van Lint, Her Yerde Matematik Alanında, M. Aigner ve E. Behrends (editörler), Amerikan Matematik Derneği, 2010

(Bu kitap Almanca orijinalinden bir çeviridir.)

Başka bir uygulama kimlik doğrulama kodlarındadır. Bunlar, esas olarak, mesajdaki herhangi bir kurcalamayı tespit etmek için tasarlanmış kodlamalardır ve temel olarak hata düzeltmeye dayanırlar. Bu, sesin yapısı hakkında varsayımlarda bulunma eğiliminde olan basit bir hata düzeltmesinden biraz daha fazlasıdır.

Hata düzeltme kodunun özellik testinde uygulamaları oldu:

• Fonksiyonel özellik testi:

  • Toleranslı testlerin gösterilmesi oldukça zor olabilir: Fischer ve Fortnow tarafından Boole Özellikleri için Toleranslı ve Hoşgörüsüz Test
  • Haberleşme karmaşıklığı ile daha düşük sınırlar kanıtlama: Emlak Testi Blais, Brody ve Matulef ile Haberleşme Karmaşıklığı ile Alt Sınırların Test Edilmesi (temel olarak, ECCC'ler azaltılmanın büyük bir adımıdır, özellik testinde söz verilmesine yardımcı olur). Ayrıca Oded Goldreich'in bu konuyla ilgili görüşlerine de bakın .
  • Özellik testinde hierachy teoremleri gösteriliyor:
  • bakımından adaptivity : Mülkiyet Testi için bir adaptivity Hiyerarşi Teoremi , Canonne ve Gur tarafından. ECCC'ler (aslında, LTC + LDC'ler) sorgu modeli hiyerarşisini mülk testine "yükseltmek" için kullanılır.

• Dağılım testi: Yukarıda belirtilen [BBM] alt sınır metodolojisinin analoğu, ana bileşen olarak hata düzeltme kodlarını da kullanır: Dağılım Testi Alt Sınırları İletişim Karmaşıklığından Düşürmelerle, Blais, Canonne ve Gur.

(Üzgünüm, bu, birlikte yazdıklarımın, çoğunlukla bunlara aşina olduğum için) biraz önyargılı.)

Kod tabanlı ortak anahtar şifrelemesinin kuantum sonrası olduğuna inanıyoruz . Aslında, kod tabanlı şifreleme, kuantum sonrası ortak anahtar programları arasında en uzun tarih geçmişine sahiptir, ancak anahtar boyutları McBits'te 1 MB gibi pratik olarak büyük görünmektedir .

Ayrıca, Felipe Lacerda'nın bahsettiği gibi bir uzlaşma aşaması kullanan kafes tabanlı ortak anahtar şifrelemesinde de hata düzeltme kodları kullanıyoruz. Aslında, kuantum sonrası anahtar değişimi için şu anki en iyi bahsettiğimiz, Module-LWE şeması Kyber'dir (kafes tabanlı).