Ağaçlarda NP zor problemler

Genel grafiklerde NP zor olduğu bilinen birkaç optimizasyon problemi, giriş grafiği bir ağaç olduğunda polinom zamanında (bazıları doğrusal zamanda bile) önemsiz bir şekilde çözülebilir. Örnekler arasında minimum tepe örtüsü, maksimum bağımsız küme, alt yazı izomorfizmi sayılabilir. Ağaçlarda NP sert kalan bazı doğal optimizasyon problemlerini adlandırın.

Standart referansımıza göre ağaçlarla sınırlandırılmış olsa bile zor olan "doğal" ve "iyi bilinen" grafik sorunlarının örneklerini bulabilirsiniz . Örnekler:

• İntegral k-çok- mal akışı ,
• Ortak gömülü alt ağaç ,
• Ortak alt ağaç .

(Bunlar ağaç sorunları olarak formüle edilir, ancak bunları isteğe bağlı grafiklerle genelleştirebilirsiniz. Daha sonra girdilerinizi ağaçlarla sınırladığınızda yukarıdaki formülasyonlar özel durum olarak elde edilir.)

Ağaçlarda zorlaşan problemlerin üretilmesi için daha genel bir tarif: Üst diziler , üst gerginlikler , alt diziler , vs. ile ilgili herhangi bir NP-zor problemi alın . Ardından genel grafikler için benzer bir soru ortaya çıkarın (sonuç ≈ grafik küçük, alt dize ≈ alt harf). Ve sorunun ağaçlarda (ve yollarda) bile NP-zor olduğunu biliyoruz.

Ayrıca alt-toplam probleminden azalarak ağırlıklı yıldızlarda zor olan birçok problem vardır. Doğal bir örnek:

• İki yolcular ile TSP : bir kenar ağırlıklı grafik verilen ve bir limit biz kapalı yürür iki bulabilirsiniz, ve de her yürüyüş en toplam ağırlığa sahip olacak şekilde ve her bir düğüm en az birinin kapsamına yürümek?W C 1 C 2 G W $G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

Yine, temanın varyasyonları ile gelip kolaydır.

Bir ağacın iki boyutlu tamsayı ızgarasına gömülü olup olmayacağını belirlemek, tamamlanmış ızgara noktalarına yerleştirilmiş ağaç köşeleri ve ızgara kenarlarına yerleştirilmiş ağaç kenarları ile belirlenir.

Bakınız, örneğin, Gregori, IPL 1989 .

Grup Steiner problemi güzel bir örnek. Bu sorun için giriş, bir yönsüz kenar ağırlıklı grafiktir ve köşe k grupları S 1 , S 2 , ... , S k . Amaç, her gruptan en az bir köşe içeren minimum ağırlık ağacı bulmaktır. Set Kapağı probleminin G bir yıldız olsa bile özel bir durum olduğunu görmek kolaydır. Bu nedenle, problemin P = NP olmadığı sürece bir O ( log n ) faktörü içinde yaklaşık olarak görülmesi zordur . Dahası, Halperin ve Krauthgamer tarafından sorunun yaklaşık olarak tahmin edilmesi zor olduğu gösterilmiştir.$G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$$O(\log n)$NP, yarı-polinom zaman algoritmalarını randomize etmediyse,herhangi bir sabit ϵ > 0 için O ( log 2 - ϵ n ) faktörü(kesin bir cümleye bakınız). Bir vardır O ( giriş 2 , n ) Garg, Konjevod ve rahmi tarafından ağaçta yaklaşımı.$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$

Ağaçlardaki en zor problemlerden biri minimum bant genişliği problemidir. Bu ise Ayrıca saç uzunluğu 1 dairesel tırtıl NP-zor maksimum derecede 3. ağaçlarda -Sert.$NP$

Referanslar:

Michael R. Garey, Ronald L. Graham, David S. Johnson ve Donald E. Knuth. Bant genişliği minimizasyonu için karmaşıklık sonuçları. SIAM J. Appl. Math., 34 (3): 477-495, 1978.

Burkhard Monien. Saç uzunluğu 3 olan tırtıllar için bant genişliği azaltma problemi NP tamamlandı. SIAM J. Cebirsel Kesikli Yöntemler, 7 (4): 505-512, 1986.

W. Unger. Bant genişliği problemi yaklaşımının karmaşıklığı. FOCS'ta, sayfalar 82–91, 1998

$G$$G$$k$$S$$k$$G$

Bu problem yıldızlarda NP zor (ve MAX SNP zor) [ 1 ].

[ 1 ] Garg, Vazirani ve Yannakakis, Ağaçlarda İntegral Akış ve Multicut için Primer -İkili Yaklaşım Algoritmaları , Algoritma, 18 (1), s. 3-20, 1997.

İtfaiyeci sorunu son zamanlarda oldukça fazla ilgi gördü ve (biraz şaşırtıcı şekilde) en fazla derece 3 olan ağaçlar üzerinde NP-sert . Aslında şu şekilde tarif edilen oldukça doğal bir sorudur:

$k$

Veya NP-hard değişken olan bir değişken : İtfaiyeci için hiçbir yaprağın yanmadığı bir strateji var mı?

Ağaçta zor olmayacağını düşünebilecek bir problem hesaplanabilir geometride donma etiketi problemidir : kısaca, tek bir uyanıklık botla başlayan robotlar için uyandırma çizelgeleme problemi.

Ağırlıklı yıldız grafiklerinde NP-sert olduğu bilinmektedir. Ancak, problemin düzlemde NP zor olup olmadığı açıktır. Bir tanesi NP sertliğinin 'ağaçlık' değil, 'isteğe bağlı metriklik' ten geldiğini, yıldız grafiklerinin yalnızca sınırlı bir ölçü alanı verdiğini iddia edebilir.

$T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

$k$

İmparatorluk renklendirmesi ağaçlar için NP-zordur.

$r$$s$$G$$r$$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

$s$$\text{COL}_r$$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

Bir ağdaki bir akış, her düğümde en fazla bir tane giden yay kullanıyorsa bir araya gelir. Bir ağaçta maksimum bir birleşme akışını belirlemenin NP-sertliği (4 çaplı, birden fazla lavabo ile izin verilir) kanıtlanmıştır: D. Şifonyer ve M. Strehler, Kapasitif Konfluent Akışlar: Karmaşıklık ve Algoritmalar, LNCS 6078 (2010) 347-358 .

$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

Sorun NP-zor (aslında, yaklaşık olarak zordur) yalnızca tüm giriş ağaçlarının sınırsız bir derecesi olduğunda zor.

Basit bir grafiğin uyumlu renklendirilmesi, her bir çift renk çiftinin bir kenarda birlikte görüneceği şekilde uygun bir köşe renklendirmesidir. Grafiğin Uyumlu Kromatik Sayısı, grafiğin uyumlu renklendirmesinde en az renk sayısıdır. Ahenkli Kromatik Sayı bulma probleminin Edwards ve McDiarmid tarafından ağaçlarda NP tamamlanmış olduğu gösterilmiştir . Aslında, aynı zamanda yarıçapı 3 ağaçları için sorunun tamamlanmadığını da göstermektedirler.

$u$$u$

İlgili (ve daha ünlü) TSP probleminde, hedefin ortalama gecikmeden ziyade maksimum seviyeyi en aza indirmektir. Bence TRP genellikle daha karmaşık bir problem olarak kabul edilir (aslında TSP ağaç ölçümleri için P’dedir).

Ağaçlardaki NP sertliği, RA Sitter'lerinde, "Asgari Gecikme Problemi, Ağır Ağaçlar için NP-Zor'dur", ISCO 2002'de gösterilmiştir.

Graph Motif en fazla üç derece ağaçta NP-Complete problemidir:

Üyeler, Fertin, Hermelin ve Flakon, Vertex Renkli Grafiklerde Bağlantılı Motifleri Bulmak İçin Keskin İzlenebilirlik Sınır Çizgileri Bilgisayar Bilimlerinde Ders Notları, 2007, Cilt 4596/2007, 340-351

Bir projenin bir parçası olarak baktığımda (çok genel) bir sorun var: bu sorunun bir çeşidi iki köşeli ve tek kenarı olan grafiklerde bile NP-zorlu kalır ve farklı bir varyant ağaçlarda NP-zorudur. İlk değişkenin NP sertliği açıkça grafik biçiminden kaynaklanmadığından ikincisi muhtemelen daha ilginçtir.

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

Tüm indirmelerin yönlendirilmesini istemiyorsanız, bunun yerine yönlendirilen indirilenlerin dosya boyutlarının toplamını en üst düzeye çıkarmayı deniyorsanız, bu soruna ilişkin alt küme toplamını kolayca azaltabilirsiniz: çok fazla alan içeren tek bir sunucunuz varsa, subset sum örneğinin hedef değerine eşit kapasiteye sahip bir kenarı olan sunucuya bağlı tek bir istemci ve subset sum örneğindeki her tam sayı için eşit boyutta bir dosya oluşturursunuz; müşteri daha sonra tüm bu dosyaları indirmek ister.

Bu soru için çok daha ilginç bir varyasyon: Kapasitesi aşılmış kenar sayısını en aza indirmeye çalıştığınız durumdur - belki de üzerinde çalıştığımız ağ transatlantik internet kablolarını modellemek ve kabloyu değiştirmek çok pahalıya mal olur. Faktör iki yükseltme daha hızlı ve faktör üç daha hızlı yükseltme ihmal edilebilir. Ayrıca, sunuculara dosya yerleşimlerinin zaten verildiğini ve değiştirilemediğini söylüyoruz, bu nedenle yalnızca yönlendirme sorunlarına bakıyoruz.

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

Buradaki fikir, istemcinin tüm sunucu kümeleri için benzersiz olan dosyalara ihtiyaç duymasıdır, bu yüzden istemciyi sunucu kümelerine bağlayan kenarlar zaten kapasiteleri sınırındadır (kapasiteleri 1, dosyalar 1 boyutundadır). Müşteri, evrenin herhangi bir öğesini herhangi bir kümeden indirirse, o kümeye bağlanan kenar aşırı yüklenir. Zira sadece sayıyıAşırı yüklerin (kapasitelerin ne kadarını aşmamamızla değil), müşteri, o sunucu kümesinde barındırılan evrenin elementlerinin geri kalanını (yani ilgili alt kümenin geri kalanlarını) ceza almadan indirebilir. Bu nedenle, seçilen alt kümeye karşılık gelir. Müşteri, evrendeki tüm dosyaları bir kez indirmek istiyor, bu yüzden evren gerçekten ele alınacak ve aşırı yüklü kenar sayısını en aza indirmek için seçilen alt kümelerin sayısını en aza indirmemiz gerekiyor.

Yukarıdaki konstrüksiyonun bir ağaç grafiği verdiğine dikkat edin, bu yüzden ağaçlarda NP-sert problemine bir örnek.

Kesintisiz Akış Problemi. Aslında UFP tek bir kenarda bile zor durumdadır (Sırt çantası).

$G(V, E)$$NP$

Resmen, sorun şudur:

BÖLÜMLENEN GRAFİK İZOMORFİZMİ

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

NP tamamlama sütunu, Graham ve Robinson'ın "İzomorfik faktoring IX: hatta ağaçlar" yayınlanmamış makalesini gösterir.

DS Johnson, NP eksiksizlik sütunu: devam eden bir rehber, Algoritma Dergisi 3 (1982), 288–300

Her nasılsa, son cevabımdaki Akromatik Sayı problemini özledim, ama bu, ağaçlarda NP tamamlanan, bildiğim en doğal problemlerden biri.

Bir grafiğin tamamen renklendirilmesi, her bir renk sınıfı çifti arasında bir kenar olacak şekilde uygun bir renklendirmedir. Renklendirme, her bir renk çiftinin en az bir kenarda görüneceği şekilde uygun bir renklendirme olarak Uyumlu Renklendirme'nin aksine ifade edilebilir . Ayrıca, bir klibe tam (veya tam) bir homomorfizm olarak da ifade edilebilir. Akromatik Sayı problemi, grafiğin tamamen renklendirilmesinde en fazla sayıda renk sınıfını aradığımız bir büyütme problemidir.

Yannakakis ve Gravil, bu sorunun Bipartite Graphs'ı tamamlamada NP zor olduğunu kanıtladı . Cairnie ve Edwards bu sonucu uzattı ve sorunun ağaçlarda NP tamamlandı olduğunu gösterdi .

Yaklaşım Algoritmaları alanında bu konuda çok fazla çalışma yapılmıştır [ 3 , 4 , 5 ].

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

Circuit SAT ağaçta NPC midir? Ağaç iç köşeleri, OR / AND kapıları olarak etiketlenmiştir. Yapraklar girdilerdir. Devrenin True olarak değerlendirebilmesi için tatmin edici bir girdi kümesi olup olmadığını belirleyin.

$2^k - 1$