Yapıcı olmayan algoritma varlık kanıtları var mı?

Belirli bir karmaşıklıkla çözülebilen kanıtlanmış sorunlara referanslarla karşılaştığımı, ancak bu karmaşıklığa gerçekten ulaştığı bilinen bir algoritması olmadığını hatırlıyorum.

Zihnimi bunun nasıl olabileceği etrafına sarmakla mücadele ediyorum; Bir algoritmanın varlığı için yapıcı olmayan bir kanıtın nasıl göründüğü.

Gerçekten böyle sorunlar var mı? Çok pratik değerleri var mı?

Fonksiyonu düşünün ( buradan alınmış )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Görünüşe rağmen, aşağıdaki argümanla hesaplanabilir. ya$f$

1. $0^n$Her için ya da$n$
2. bir var, böylece oluşuyor ama oluşmuyor.0 k 0 k + $k$$0^k$$0^{k+1}$

Hangisinin olduğunu henüz bilmiyoruz, ancak içinde olduğunu biliyoruz.$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. $f_\infty(n) = 1$ ve
2. $f_k(n) = [n \leq k]$ .

Yana , hesaplanabilir - ama biz söyleyemeyiz olduğunu. f $F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

Bu tam olarak ne demek istediğinizi olmayabilir , ama Seth Pettie ve Vijaya Ramachandran'ın optimal minimum yayılma ağacı algoritması bir anlamda yapıcı değil.

Asgari yayılan ağaçları doğrusal ( ) sürede hesaplamak için deterministik bir algoritma olup olmadığı açık bir sorudur . Pettie ve Ramachandran, böyle bir algoritma varsa MST'leri lineer zamanda hesaplayan bir algoritmayı tanımlar .$O(n+m)$

Sezgisel olarak algoritmaları , MST probleminin herhangi bir vertex örneğini doğrusal zamandaki köşeleriyle daha küçük örneklere indirger , burada (say) . Sonra , herhangi bir vertex grafiğinin minimum yayılma ağacını kaba kuvvet sayımı ile hesaplayan en uygun karşılaştırma ağacını hesaplarlar ; bunda quintuply üstel zaman alır bile sadece var, süresi. Son olarak, bu optimal karar ağacını kullanarak küçük örnekleri çözerler.O ( n / k ) O ( k ) K = O ( giriş günlük günlük günlük günlük günlük günlük n ) k k O ( giriş günlük n $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$$O(\log\log n)$

Diğer bir deyişle, Pettie ve Ramachandran, optimal bir MST algoritması oluşturan bir algoritma oluşturarak, yalnızca dolaylı olarak optimal bir MST algoritması oluşturur.

İşte iki örnek.

1. Robertson-Seymour teoremini kullanan bazı algoritmalar . Teorem, her durum için sonlu bir engelden geçtiğini ancak böyle bir sonlu seti bulmanın bir yolunu vermediğini belirtir. Bu nedenle, algoritmanın var olduğunu ispatlayabilsek de, algoritmanın açık ifadesi, nasıl bulacağımızı bilmediğimiz sonlu engel kümesine bağlı olacaktır. Başka bir deyişle, bir algoritma olduğunu biliyoruz, ancak bir tane nasıl bulacağımızı bilmiyoruz.

2. Daha güçlü bir örnek, daha az doğal olmasına rağmen temel olarak PEM veya benzeri yapıcı olmayan aksiyomları kullanıyor. Bu, bir algoritmanın yapıcı varlığını yapıcı olmayan bir aksiyom anlamına geldiğini ( Brouwer'ın zayıf karşı örneklerine benzer şekilde) ima edebileceği anlamında daha güçlüdür . Böyle bir örnek daha güçlüdür çünkü sadece şu anda açık bir algoritma (veya bir tane bulmanın herhangi bir algoritmik yolunu) bilmediğimizi söylemekle kalmaz , aynı zamanda bunu yapma umudunun olmadığını da söyler.

   Bir örnek olarak, bir algoritmanın var olduğunu ispatlamak için PEM kullanabiliriz, oysa hangisini ve yapıcı bir yöntemi yapıcı olmayan bir aksiyom anlamına geleceğini bilmiyoruz. Basit bir örnek vereyim:

   Durma problemi her sabit Turing makinesi için önemsiz bir şekilde kararlaştırılabilir (her TM ya durur ya da durmaz ve her durumda doğru cevabı veren bir TM vardır), ancak sorunu çözmeden problemi doğru çözen bir algoritmayı nasıl bulabiliriz? Durma sorununun tek tip versiyonu

   Daha resmen, bir TM verilen bu yapıcı ispat edemez , bir TM orada için durdurulması problemi karar verir . Daha resmi olarak, aşağıdaki ifade yapıcı olarak kanıtlanamaz:H T$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   Burada kodu ile TM'dir (TM'lerin bazı sabit temsili olarak), aracı durur ve , anlamına gelir .$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Evet.

(1) 'de bir noktada, herhangi bir sonlu alan büyüklüğü, Cai, Chen ve Lu için karmaşık ağırlıklı sayım grafiği homomorfizmi ikilemi teoremi teoremi, yalnızca polinom interpolasyonu yoluyla iki sayma problemi arasında bir polinom-zaman azalmasının varlığını kanıtlamaktadır. Böyle bir algoritma için pratik bir değer bilmiyorum.

ArXiv versiyonunun 4. bölümüne bakın. Söz konusu lemma, "İlk İğneleme Lemması" olarak adlandırılan Lemma 4.1'dir.

Bu kanıtı yapıcı kılmanın bir yolu , Lovasz'ın sonucunun karmaşık ağırlıklı versiyonunu kanıtlamaktır :

Tüm için , bir otomorfizma vardır IFF ait şekilde .$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

Burada, olarak bir köşe olan , ve olarak noktalar vardır ve tüm kompleks ağırlıklı grafik homomorfizmalar fazla toplamıdır için olduğu ilave sınırlama eşlemlenmelıdır .$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Jin-Yi Cai, Xi Chen ve Pinyan Lu, Kompleks Değerli Grafik Homomorfizmaları: Bir Dikotomi Teoremi ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

80'lerin sonlarından gelen bazı erken sonuçlar:

• Fellows ve Langston, " Polinom-zaman kararını kanıtlamak için yapıcı olmayan araçlar ", 1988

• Brown, Dostlar, Langston, " Polinom-zaman kendini azaltma: teorik motivasyonlar ve pratik sonuçlar ", 1989

İkinci öğenin özetinden:

Bununla birlikte, grafik teorisindeki son temel gelişmeler, P'ye üyeliği garanti etmek için uygulanabilecek güçlü, yeni, yapıcı olmayan araçları mümkün kılmıştır. Bu araçlar, iki farklı seviyede yapıcı değildir: karar algoritmasını üretmezler, sadece bir engel kümesinin doğruluğunu ortaya koyarlar. ne de böyle bir karar algoritmasının bir çözümün yapımında herhangi bir yardımı olup olmadığını ortaya çıkarmazlar. Bu araçların kullanımını kısaca inceler ve örneklendiririz ve bu yeni araçlar uygulandığında vaat edilen polinom-zaman karar algoritmalarını bulmak için zorlu görünen görevi tartışırız.

Gösterebileceğimiz sonsuz bir sorun ailesine (şüpheli pratik değer) bir örnek:

1. Her problem için onu çözmek için bir algoritma var.
2. Bu algoritmaları oluşturmanın bir yolu yoktur (genel olarak).

Başka bir deyişle, yapıcı olmayan bir kanıt. Her Turing makinesi için sorun ailemiz ( bu sorudan ) :$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. Her bu sonlu bir kümedir ve bu nedenle karar verilebilir.$M$

2. Bir Turing Makinesi bir tanımını veren yapıcı bir (uygun bir resmi sistemde) sahip karar bir Turing Makinesi sonra iki makine ve ( ) sonra çalıştırarak bu makineler tarafından tanınan dillerin eşitliği test edilebilir . Rice teoreminin imkansızlığı; Böylece, böyle bir yapıcı kanıt yoktur.M P ( ⟨ M ⟩ ) L M M M ' | ⟨ M ⟩ | ≥ | ⟨ M ' ⟩ | P ( ⟨ M ⟩ ) ( ⟨ M ' ⟩ ) $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

MohammadTaghi Hajiaghayi Öğreticisi için "Bidimensionality Theory and Algorithmic Graph Minor Theory Ders Notları", Mareike Massow, Jens Schmidt, Daria Schymura ve Siamak Tazari'den.

Her bir küçük-kapalı grafik özelliği, sınırlı bir küçük çocuk kümesi ile karakterize edilebilir.

Ne yazık ki, sonuçları “doğası gereği” yapıcı değildir, yani belirli bir küçük-kapalı grafik özelliği için genellikle hangi küçüklerin dışlanacağını belirleyebilecek bir algoritma yoktur. Dahası, yasaklı küçüklerin sayısı yüksek olabilir: Örneğin, torusun üzerine gömülebilen grafikler için 30.000'den fazla yasaklı küçükün biliniyor, ancak liste eksik.

[...]

Her küçük-kapalı grafik özelliğine polinom sürede (kübik zamanlarda bile) karar verilebilir.

Algoritmik Lovász yerel lemması - "algoritmik Lovász yerel lemması algoritma, sınırlı bağımlılığı olan bir kısıtlama sistemine uyan nesneler inşa etmenin algoritmik bir yolunu sunar. Kötü olaylardan kaçınmak için. " Dağılımla ilgili bazı varsayımlar / kısıtlamalar üzerine, Moser / Tardos [1] tarafından oluşturulan bir algoritma verilmiştir. Lovasz yerel lemması karmaşıklık teorisi ile çeşitli derin bağlantılara sahip gibi görünmektedir, örneğin bkz. [2]

[1] Moser, Tardos tarafından yapılan genel Lovász Local Lemma’sının yapıcı bir kanıtı

[2] Lov´asz Yerel Lemması ve Memnuniyeti Gebauer, Moser, Scheder, Welzl