Anlamsal ve Sözdizimsel Karmaşıklık Sınıfları

"Hesaplamalı Karmaşıklık" kitabında Papadimitriou şöyle yazıyor:

RP bir anlamda yeni ve sıradışı bir karmaşıklık sınıfıdır. Polinom bağlı olmayan sınırlayıcı olmayan Turing makinesi, RP cinsinden bir dil tanımlamanın temeli olabilir. Bir makinenin ( N) bir dili RP olarak tanımlaması için , tüm girdilerde oybirliğiyle reddettiği ya da çoğunluk tarafından kabul ettiği dikkate değer bir özelliğe sahip olması gerekir . Klasik olmayan makinelerin çoğu, en azından bazı girdiler için başka şekillerde davranır ... Bir makinenin daima sertifikalı bir çıktıyla durup durmadığını söylemenin kolay bir yolu yoktur. P ve NP gibi sözdizimsel sınıfların aksine, bu tür sınıflara anlamsal sınıflar diyoruz.Yüzeysel bir kontrolle hemen uygun bir şekilde standartlaştırılmış bir makinenin gerçekten de sınıftaki bir dili tanımladığını söyleyebiliriz.

Birkaç sayfa sonra şunu işaret eder:

dili L sınıfı PP sınıfındadır, eğer belirleyici olmayan bir polinom sınırlandırılmış Turing makinesi N varsa, öyle ki, tüm x girişleri için girişleri, girişindeki N hesaplarının yarısından daha fazlasını kabul eder. N nin L ye çoğunluk karar verdiğini söylüyoruz .$x \in L$

Soru 1: Papadimitriou neden PP'nin sözdizimsel bir sınıf olduğu sonucuna varmasına rağmen tanımı RP'den biraz farklıdır ?

Soru 2: Bir karmaşıklık sınıfı için "anlambilimsel" olmanın, tam problem yaşamamamaya mı eşit olduğu veya tam problemsizliğin anlambilim derslerinin sahip olduğu bir özellik olarak mı düşünüldüğü?

Düzenleme: İlgili konuya bakın Bütün karmaşıklık sınıflarının bir yaprak dili karakterizasyonu var mı?

RP, girdi ne olursa olsun, 0 yolun kabul ettiği ya da yarıdan fazlasının kabul ettiği sözünü içerir. PP için böyle bir söz yoktur. Yolların yarısından fazlası kabul ederse , aksi takdirde, . (PP, kabul kriterleri sırasıyla ve olacak şekilde tanımlanabilir .)$x \in L$$x \notin L$$\geq 1/2$$< 1/2$

Sana bazı dil karar bir PP makinesidir iddia eden bir olasılık TM vermek Veya başka bir deyişle,, emin o karar o olabilir bazı dil. Açıkçası, karar verdiği dil şudur: girişini deneyin . Yolların 1 / 2'den fazlasının kabul edip etmediğine bakın (veya 1 / 2'den fazla rasgele dize kabul etmesine neden olur). Eğer öyleyse, . Aksi takdirde, . Bu yüzden bu TM'yi kullanarak bir dil tanımladık.$x$$x \in L$$x \notin L$

Öte yandan, size bir dilin kararını veren bir RP makinesi olduğunu iddia eden olasılıklı bir TM verirseniz, herhangi bir dile karar verdiğinden bile emin olamazsınız. Sorun kabul yalnızca birkaç yolları gözlemlemek zaman, sen bilmiyorsun ki ise ya da değil. Eğer sana bir RP makinesi verirsem, bunun için sözümü vermelisin. Gerçekten de, bu makinenin bir dili tanımlayıp tanımlamadığını kontrol etmek.$x$$L$

İkinci sorunuza gelince, sözdizimsel sınıflar için genellikle, "Verilen makine M, x zamanında T zamanında kabul edip etmeyeceğine karar verin" gibi açık bir tam sorun var. Belirsiz bir makineye sahipseniz, bu problem NP-tamam, PP-makine ise, PP-tamam, vb. Yani anlamsal sınıflar için ücretsiz olarak tam bir problem yaşamıyoruz. Ancak anlamsal bir sınıfın eksiksiz bir problemi olabilir. Örneğin, eğer P = BPP (yaygın şekilde inanılıyorsa), o zaman BPP'nin sözdizimsel bir karakterizasyonu vardır.

EDIT : Anlamsal ve sözdizimsel sınıfları nasıl tanımlayacağımızla ilgili bir tartışma olduğu için , Papadimitriou'nun yaprak dillerinden söz ederken kitabında bir tanım verdiğini belirtmek isterim. ( Bazı referanslar için yaprak dilleri hakkındaki soruma bakınız .)

Sözdizimsel sınıfların, yaprak dil tekniğini kullanarak sınıfı tanımlayan bir dil olduğu dersleri olduğunu söylüyor. Anlamsal sınıflar, tüm bu karakterizasyonların vaat problemleri gerektirdiği sınıflardır. Bu titiz bir tanımdır, ancak yalnızca yaprak dili özelliklerine sahip diller için işe yarar.

İlk sorunun cevabı tanımında olmasıdır , tatmin etmek bir makine için hayır "söz" olduğu gibi, orada . Her randomize polytime makinesi bazı dilini tanımlar : her girişte, makine uygun girişlerdeki rastgele hesaplama yollarının / 2'sini kabul eder veya kabul etmez. İlk durum, dilde olduğu, ikinci durum ise olmadığı anlamına gelir.$PP$$RP$ $PP$$> 1/2$$x$

Dolayısıyla, ve , rastgele tüm çoklu zaman makinelerini listeleyerek tüm makinelerinin özyinelemeli bir listesini verebiliriz . Buna karşılık, ile , makine için iki koşuldan tatmin etmiyor bu durumda (örneğin) kabul randomize makineleri girdi rastgele dizeleri tam olarak bir vardır : Üzerinde kabul etmemektedir arasında onun rastgele dizeler ve tüm dizeleri reddetmez. Dolayısıyla bu randomize makine, bazı girdi alt grupları üzerinde "tanımsız" davranışa sahip olması anlamında bir makinesi değildir . Bu tanımlanmasına yol açar$P$$NP$$PP$$RP$$RP$$> 1/2$$RP$$Promise-RP$Bazı dizilerde keyfi davranışa izin veren "problemleri vaat ediyor" olarak değerlendirirsiniz. Daha fazla bilgi için Karmaşıklık Hayvanat Bahçesi'ne bakın.

Bu, 2. soruya yol açar. "Semantik bir sınıf" nosyonuyla ilgili problem, sınıfı tanımlamak için kullandığınız makinelere bağlı olmasıdır ve dolayısıyla düzgün tanımlamak için son derece incedir. (Tamamen tatmin edici bir tanımın verilmiş olduğundan emin değilim.) "Anlamsal bir sınıf" olmak, yukarıda belirtilen özelliğe kabaca eşittir: her makine (doğal bir makine listesinde), gereken kabul / red koşullarını yerine getirmez Sınıfınız için ve bu nedenle sınıfınızdaki dilleri tam olarak kabul eden makinelerin bir listesini almak "zor" olur. Ama eğer ardından orada bazı kolayca hesaplanabilir liste bazı$P=BPP$Sınıfınızdaki dilleri tam olarak kabul eden makineler: yani, polinom zaman hesaplanabilir makinelerin listesi. Dolayısıyla, olduğu ortaya çıkarsa , anlamsal bir sınıfı sözdizimsel bir sınıfa dönüştürdüğümüz anlaşılacaktır.$P=BPP$

Basitçe olduğunu gerçekten böyle olsaydı hiçbir tam olarak sınıf kabul (herhangi bir makul türden) makinelerin hesaplanabilir liste kolayca, o zaman evet, ben senin sınıf olasılıkla tam bir dil olabilir sanmıyorum. Ancak ispat etmeden, doğru şekilde biçimlendirmek çok zor görünüyor.