Düşük olasılık koordinatları olmayan yüksek olasılık olayları

, çok yüksek entropiye sahip (bazı büyük alfabe ) değerlerini alan rastgele bir değişken olsun - diyelim ki,keyfi olarak küçük bir sabit . Let desteklemek bir olay şekilde , \ varepsilon bir keyfi küçük sabittir.$X$$\Sigma^n$$\Sigma$$H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|$$\delta$$E \subseteq \rm{Supp}(X)$$X$$\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon$$\varepsilon$

Bir çift söylemek $(i,\sigma)$ a, düşük bir olasılık koordinat arasında $E$ ise $\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon$ . Biz bir dizge ki $x \in \Sigma^n$ düşük olasılık koordinatı içeren $E$ halinde $(i, x_i)$ düşük bir olasılık koordinatıdır $E$ bazıları için $i$ .

Genel olarak, bazı teller $E$ düşük olasılık koordinatlarını ihtiva edebilir $E$ . Sorusu her zaman yüksek bir olasılık olay bulabileceğidir $E' \subseteq E$ hiçbir dize şekilde $E'$ Düşük olasılık koordinatı içerir $E'$ (ve değil $E$ ).

Teşekkürler!

İşte Harry Yuen'in cevabını tamamlayan bir örnek. Bir karşı örnek için, uygun tanımlamak için yeterli ve göstermek herhangi geniş bir alt grup düşük olasılık ko-koordinatı olmalıdır - düşük olasılık koordinatı mutlaka düşük olasılık eş koordinatı .$X,E$$E'\subseteq E$$E$$E$$E'$

- Ayrıca, entropi ilgili durum göz ardı olacak ekleme eşit rastgele değişkenler dağıtılmış bağımsız (ve alma için ) artacakböyle bir olup olmadığını etkilemeden yaklaşık (bunu dikkatlice yapmadım).$N$$X$$E$$E\times \Sigma^N$$H(X)/(n+N)\log|\Sigma|$$1$$E'$

İşte örnek. rastgele bir öğesi olmasına izin verin , Hamming ağırlığı olan her vektör (yani formundaki vektörler ) olasılık ve hepsi bir vektör olasılık . Hamming ağırlığı ile vektörler kümesi olsun .$X$$\{0,1\}^n$$1$$0\dots 010\dots 0$$(1-\epsilon)/n$$1\dots 1$$\epsilon$$E$$1$

Bir alt küme alt küme düşünün . Eğer boş değil, Hamming ağırlık vektörü içeren , demek genelliği kaybetmeden. Ancak azdır, ise olduğu yaklaşık .$E'\subseteq E$$E'$$1$$100\dots 0$$\Pr[X \in E'|X_i=1]=\frac{(1-\epsilon)/n}{(1-\epsilon)/n + \epsilon}$$\epsilon$$n$$2/\epsilon^2$

nasıl karşılaştırılır ? Eğer olabilir , o zaman ne istediğinizi yapabileceğiniz düşünüyorum. Let . Not, verilir altında olasılık kütle . Let dizeleri tahsis göstermektedirler olasılık öyle ki koordine inci sahip sembol .$\epsilon$$n$$\epsilon$$O(1/\sqrt{n})$$B = \mbox{Supp}(X) - E$$B$$\epsilon$$X$$\lambda(i,\sigma)\epsilon$$B$$i$$\sigma$

Diyelim ki bazı dizeler için düşük olasılıklı bir koordinattı . Let bu dizeleri atanan olasılık kütlesini belirtir. Sonra tanım gereği , bunu gösteren . Bu düşük olasılıklı dizeleri yalnızca probda kaybı yaşarken atabiliriz . kitle .$(i,\sigma)$$E$$\delta(i,\sigma)$$\frac{\delta(i,\sigma)}{\delta(i,\sigma) + \lambda(i,\sigma)\epsilon} \leq \epsilon$$\delta(i,\sigma) \leq 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2$$\delta(i,\sigma)$$E$

Bunu tüm olası kötü için yapmaya devam edin ve sonunda en fazla . Bu, tüm , olduğu gerçeğini kullanır .$(i,\sigma)$$\sum_{i,\sigma} \delta(i,\sigma) \leq \sum_{i} \sum_{\sigma} 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2 \leq 2\sum_{i} \epsilon^2 = 2n\epsilon^2$$i$$\sum_{\sigma} \lambda(i,\sigma) = 1$

Eğer istiyorsa olasılık kütle elde etmek için , o ihtiyaçlarını şekilde olması için bu , veya yeterlidir.$E'$$1 -\gamma$$\epsilon$$\epsilon + 2n\epsilon^2 \leq \gamma$$\epsilon = O(\gamma/\sqrt{2n})$

Şu anda bu bağımlılığın kurtulabileceği açık değil; Bunu düşünmeye devam edeceğim.$n$