Sınırlı saçak grafikler için izomorfizme nazik giriş

Graph İzomorfizminin ( $GI$ ) olduğu grafik sınıfları hakkında okuyorum $P$. Bu tür bir durum, burada açıklandığı gibi sınırlı değerlik grafiğidir (her bir tepe noktasının derecesi üzerinde maksimum) . Ama çok soyut buldum. Birisi bana açıklayıcı doğanın bazı referanslarını önerebilirse minnettar olurum. Grup teorisinde güçlü bir arka planım yok, bu yüzden grup teorisini yumuşak bir şekilde kullanan kağıtları tercih ederim (arka plan CS'de).

Sınırlı grafik izomorfizmi için algoritma (permütasyon) grup teorisine o kadar yakından bağlıdır ki, grupları "sadece nazikçe" kullanan bir giriş olduğundan şüpheliyim. Ancak Paolo Codenotti'nin Ph.D. daha eksiksiz bir arka plan için tez . Sınırlı dereceli grafik izomorfizmini tam olarak kapsamaz, ancak bunun için gerekli araçları kapsar (ve tezin geri kalanı sınırlı dereceli hipergraflarla ilgilidir ve genel grafik izomorfizmi için en iyi bilinen algoritmayı sınırlı dereceli hipergraf vakasına genişletir) .

Grup-Teorik Algoritmalar ve Grafik İzomorfizmi kitabını , gerekli arka planın çoğunu kapsadığı için (Bölüm 2, "Temel Kavramlar", 47 sayfadır) ve konu.

Gösterim: Let grafiktir olmak E = ( v 1 , v 2 ) bir kenarının X . Tepe grubu V k mesafesi köşe kümesi k gelen e ve izin h yüksekliği olması X .$X = (V,E)$$e = (v_1, v_2)$$X$$V_k$$k$$e$$h$$X$

tanımına göre , V = V 0 ∪ V 1 … V h ve V ( h + 1 ) = ∅ . Alt-kümesi, izin E K kenarlarının X ( 0 ≤ k ≤ h ) tarif yapıldığı haliyle olduğu$V_k$$V= V_0 \cup V_1 \dots V_h$$V_{(h+1)}= \emptyset$$E_k$$X(0 \leq k \leq h)$

$E_k = \{ (u,w) | u \in V_k, w \in V_ k \cup V_{(k+1)} \}.$

Alt grafiğinin yapıldığı haliyle tanımlandığı gibidir$X_i$

$X_k= (V_0 \cup V_1 \dots \cup V_k, E_0 \cup E_1 \dots E_{(k-1)} \}$

For example, $X_2 =\{ (V_0 \cup V_1 \cup V_2, E_0 \cup E_1)\}$

$Aut_e(X)$ is the automorphism group of graph $X$ where $e$ is fixed. If $B$ is a generating set of $Aut_e(X_k)$ , we write $\langle B \rangle = Aut_e(X_k)$, for example, it is clear that $Aut_e(X_0)=\langle(v_1,v_2)\rangle$ where $(v_1,v_2)$ is a permutation of vertices $v_1, v_2$ of $X$.

Principle Constructing generating set of automorphism group of $X$ is a GI (graph isomorphism) complete problem [1]. So, if we can compute generating set of automorphism group of $X$ (which has bounded valance in polynomial time), we can solve GI in polynomial time. So, we wish to determine $Aut_e(X)$.

Technique:

We will construct $X_0, X_1..... X_h$. For each, $X_k$ we will construct $Aut_e(X_{(k)})$

Note that, a permutation of $Aut_e(X_{(k) })$may be extended to an automorphism of $Aut_e(X_{(k+1)})$.

So, generators of $Aut_e(X_{(k+1)})$ can be obtained from generators for $Aut_e(X_{k})$.

To construct generator, structure-type of $E_k$ is manipulated. The structure-type of $E_k$ can be divided into finite classes. For example, in the trivalent case, there are only six type (only five of those cases can actually occur).

We will classify the edges in $E_k$ into types and will group them into families . This helps to create a number of unique labels.

For a fixed valence, the number of labels is small. At this point, we use the concept of setwise-stabilizers to find permutations which acts on particular label. In the process, we find the generator of $Aut_e(X_{(k) })$. Then, we use the generator of$Aut_e(X_{(k) })$ to find the generator of $Aut_e(X_{(k+1) })$, as stated earlier. Proceeding in this manner, we obtain, $Aut_e(X)$ .