Uygulamalı functorün kategorik olarak açıklanması - monoidal functors

ApplicativeKategori teorisi açısından anlamak isterim .

Dokümantasyon için Applicativeo olduğunu söylüyor güçlü gevşek monoidal funktoru .

Öncelikle, monoidal fonksiyon göstericileri hakkındaki Wikipedia sayfası bir monoidal fonksiyon göstergesinin ya laks ya da güçlü olduğunu söylüyor . Bana öyle geliyor ki kaynaklardan biri yanlış, ya da terimleri farklı kullanıyorlar. Bunu açıklayan var mı?

İkincisi, Applicativemonoidal functors olan monoidal kategorileri nelerdir? Functorların standart Haskell kategorisinde endo-functor olduğunu varsayıyorum (nesneler = türler, morfizmler = işlevler), ancak bu kategorideki monoidal yapı ne olduğu hakkında hiçbir fikrim yok.

Yardım için teşekkürler.

— Petr Pudlák
kaynak

Yanıtlar:

Oyunda burada "güç" kelimesinin iki kullanımı var.

Bir güçlü endofunctor üzerinde monoidal kategorisi bir doğal dönüşüm ile birlikte biridir , ile ilgili uyuşma koşulları karşılayan Parlayacağım asistanı. Bu durum bazen " bir güce sahip olduğu " şeklinde de ifade edilir . $F : C \to C$ $(C, \otimes, I)$ $\sigma : A \otimes F(B) \to F(A \otimes B)$ $F$
$F : C \to D$ $(C, \otimes, I)$ $(D, \oplus, J)$ $\phi : F(A) \oplus F(B) \to F(A \otimes B)$ $i : J \to F(I)$ yine birliklere ilişkin bir tutarlılık koşulunu yerine getirme.
$F : C \to D$ $\phi$ $i$ $F(A \otimes B) \simeq F(A) \oplus F(B)$ $\phi$

Uygulayıcı bir işlev, Haskell programları anlamında, söz konusu monoidal yapı Kartezyen ürünler olmak üzere, mukavemete sahip bir laks monoidal endofunctordur . İşte bu yüzden paradoksu kulağa "güçlü lax monoidal functor" terimini veriyorsunuz.

$F$ $\mathrm{map} : (A \Rightarrow B) \to (F(A) \Rightarrow F(B))$

Son olarak, Haskell tarzı uygulayıcı işlev türlerinin teorisi ile ilgileniyorsanız, ben sadece bunun hakkında blog yazdım.

— Neel Krishnaswami
kaynak

Functorfmap

ϕ

$\phi$

i

$i$ pureipure' = \v -> fmap (\() -> v) (i ())i :: (Applicative f) => () -> f ()

Bu cevapta bir yazım hatası vardı - şimdi düzeltildi. Ve evet, tüm örnekleri Functorgüçlüdür (wrt ürünü).

— Neel Krishnaswami

Monad'ın nerede durduğunu da açıklayabilir misiniz? Eğer doğru anlıyorsam, aynı zamanda bir monoidal endofunctor.

— egdmitry

Hask

$\operatorname{Hask}$

"Güçlü" ile yazım işaretinin çarpışmasını önlemek için güçlü kelimeyi kullanmayı önerebilir miyim ? Bu, ilk olarak Wycliffe'nin İncilinde kullanılan "güçlü" diyalektik bir varyasyondur.

— Fosco

Uygulayıcıyı anlamak, bir monad tarafından teşvik edildiği gibi, aşağıdaki yapıya dikkat çekmek istiyorum:

$FA$ $\mathrm{nat}(\mathrm{Hom}(A,B),FB)$

a \mapsto (g \mapsto F (g) (a))

$a\mapsto\left(g\mapsto F(g)(a)\right)$

F A \to B^{A} \to F B .

$FA\to B^A\to FB.$

F A

$FA$

F A

$FA$

F A \to F B^{A} \to F F B .

$FA\to F\,B^A\to FFB.$

F F B

$FFB$

F B

$FB$

F B^{A} \to F A \to F B,

$F\,B^A\to FA\to FB,$

L i f t M 2 i d

$\mathrm{LiftM2\ id}$

— Nikolaj-K
kaynak