Belirli özellikleri önleyen ızgara renklerini sayma

Bir $k$ bir bölgesinin -Renklendirme $m \times n$ ızgara bir fonksiyonudur $C:[m] \times [n] \to [k]$ . Bir kırık dikdörtgen olarak $C$ tuple olan $(i,i',j,j')$ karşılayan - yani, dikdörtgenin tam olarak üç köşesi aynı renktedir.$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

Aşağıdaki soru ile ilgileniyorum:

Bir fonksiyonu olarak , kaç k -colorings yinelenen satırları önlemek, yinelenen sütunlar ve kırık dikdörtgenler (her boyutta ızgaraları için) mevcut?$k$$k$

Şimdiye kadar cevabın sonlu olduğunu biliyorum ve kanıtlayabildiğim en iyi üst sınır (aşağıya bakınız).$k^{(1.5 k!)^2}$

Ayrıca, bunun Gasarch tarafından blogunda (ve bu makalede ) sık sık konuştuğu sorudan farklı bir soru olduğunu da göstereceğim . Tüm tek renkli dikdörtgenlerden kaçınmak isterken, tek renkli dikdörtgenleri önemsemiyorum, sadece kaçınmak istediğim "kırık" olanlar.

Motivasyon nedir? Şifrelemede, biz (vardır Alice sorununu düşünün (vardır) ve Bob y hem öğrenme) f ( x , y ) üzerinde anlaşılmış bir fonksiyon için f , onlar en fazla öğrendikleri şekilde f ( x , y ) . Bu ilişkilendirebilir f , bu nedenle, bir 2-boyutlu bir tablo ile doğal olarak bir ızgara boyama. Aşağıdaki formdaki (ancak farklı gösterimle) bu tür bir problem için karakterizasyonlar vardır: " f , yalnızca $x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$kırık bir dikdörtgen içeriyor. "Örneğin, bkz. Kilian91 ve BeimelMalkinMicali99 .

Bu problem araştırdığım bazı şifreleme ortamlarında ortaya çıktı. Benim amacım için, kırık dikdörtgenlerden ve yinelenen satırlardan / sütunlardan kaçınan sınırlı sayıda ızgara renklendirmesi olduğunu bilmek yeterliydi. Ancak kombinatoryal sorunun kendisinin ilginç olduğunu düşündüm ve daha iyi sınırların mümkün olması gerektiğine inanıyorum.

İyi bir ispat bağlanmış: tanımlama ve R ( k ) = k ⋅ R ( k - 1 ) ; dolayısıyla R ( k ) = 1,5 k ! . İlk olarak, eğer C en az R ( k ) ile bir k renklendirme ise$R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$satırlar varsa, yinelenen bir satır veya kırık bir dikdörtgen vardır. Simetrik olarak, sütunlar için aynı şey gösterilebilir. (Kanıt, renk # üzerindeki güvercin deliği prensibinden sonra oldukça basittir.) Bundan, önem verdiğimiz renklerin den daha küçük boyutlara sahip olduğunu biliyoruz ve k R ( k ) 2'nin renklendirmelerinin çok gevşek üst sınırı .$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

Bunun iki şekilde geliştirilebileceğini düşünüyorum: İlk olarak, nin optimal değerinin 2 k - 1 + 1 olduğunu düşünüyorum . Aşağıda renklendirici, bir (yinelemeli tanımlanan) ailesidir C k bir olan k boyutu -Renklendirme 2 k - 1 × 2 k - 1 bu yasak özellikleri önler:$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

Bunların bu yasak yapılardan kaçınan en büyük renkleri olduğuna inanıyorum .$k$

$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

$k$$k$$k^{mn}$

$\ge 1-2^{-100}$