Bir meblağın entropisinde

12

İki bağımsız ayrık rasgele değişken ve toplamının entropi üzerinde bir bağ arıyorum . Doğal olarak, Ancak, bağımsız Bernoulli rasgele değişken toplamına uygulandığında , bu $H(X+Y)$ $X$ $Y$

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) (*)

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) ~~~~~~(*)$

n

$n$

Z_{1}, \dots, Z_{n}

$Z_1, \ldots, Z_n$

Başka bir deyişle,tekrar tekrar uygulandığındabağ

ile doğrusal olarak büyür. Bununla birlikte,

, bir dizi

boyutunda desteklenir, bu nedenle entropisi en fazla

. Aslında, merkezi sınır teoremi ile tahmin ediyorum olduğu

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) \leq n H (Z_{1})

$H(Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n) \leq n H(Z_1)$

n

$n$

Z_{1} + \dots Z_{n}

$Z_1 + \cdots Z_n$

n

$n$

\log n

$\log n$

temelde bir dizi boyutta desteklendiğinden

H (Z_{1} + \dots + Z_{n}) \approx (1 / 2) \log n

$H(Z_1 + \cdots + Z_n) \approx (1/2) \log n$

.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

Kısacası, bağlı bu durumda biraz aşılır. İncelerken itibaren bu blog yazısı , ben sınırları her türlü toplamak mümkündür; Bernoulli rasgele değişkenlerinin toplamına tekrar tekrar uygulandığında doğru asimtotik (veya en azından daha makul asimptotik) veren bir sınır var mı? $(*)$ $H(X+Y)$

it.information-theory shannon-entropy

— robinson
kaynak

2

Gerçekten ne istediğini bilmiyorum. H (X + Y) üzerinde, X ve Y bağımsız iki bağımsız değişkenine uygulanabilen H (X) ve H (Y) cinsinden bir üst sınır istiyorsanız, H (X + Y) ≤H (X ) + H (Y) açıkça alabileceğiniz en iyisidir; x + y toplamlarının X ve y'nin Y desteğine göre değiştiği durumlarda x + y toplamlarının farklı olduğu durumu göz önünde bulundurun. Bu genel sınırı çok özel bir duruma uygularsanız, o zaman çok gevşek bağlı.

— Tsuyoshi Ito

1

H (X + Y) \leq H (X) + H (Y) - \dots

$H(X+Y) \leq H(X) + H(Y) - \ldots$

n

$n$

1

H (X + Y) \leq 3 H (X - Y) - H (X) - H (Y)

$H(X+Y) \leq 3 H(X-Y) - H(X) - H(Y)$

2

Bu, aradığınız şeyin H (X + Y) üzerinde H (X) ve H (Y) açısından bir üst sınır olmadığı anlamına gelir . Lütfen soruyu düzenleyin.

— Tsuyoshi Ito

1

Z_{i}

$Z_i$

n

$n$

19

$X$ $A$ $2^{H(X)}$ $Y$ $B$ $2^{H(Y)}$

$|A+B|$ $|A|$ $|B|$ $|A+B| \sim |A|\cdot |B|$ $H(X+Y) \sim H(X)+H(Y)$

$|A+B| \ll |A|\cdot |B|$ $A$ $B$ $|A+B|$ $(G,+)$ $|A+B|=O(|A|+|B|)$ $A,B$ $G$

$A$ $[a..b]$ $B$ $[0..c]$ $(1/2)\log n$ $c=1$ $a=0$ $b=k$ $k=1,...,n-1$ $a \sim k-\sqrt{k}$ $b \sim k+ \sqrt{k}$ $|A+B| \leq |A|+c$

— Boaz Barak
kaynak

5

$n$ $Z_1,Z_2,...,Z_n$ $p$ $Z_1+Z_2+...+Z_n$ $np$ $np$ $\frac{1}{2}\log n + O(\log n)$

— VSJ
kaynak

0

Belki Denklemi kullanabilirsiniz:

H (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) = H (Z_{1}) + H (Z_{2}) + \dots + H (Z_{n}) - H (Z_{1} | Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{n}) - H (Z_{2} | Z_{2} + Z_{3} + \dots + Z_{n}) - \dots - H (Z_{n - 1} | Z_{n - 1} + Z_{n})

$H(Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)=H(Z_1)+H(Z_2)+\cdots+H(Z_n)-H(Z_1|Z_1+Z_2+\cdots+Z_n)-H(Z_2|Z_2+Z_3+\cdots+Z_n)-\cdots-H(Z_{n-1}|Z_{n-1}+Z_n)$

Bu, yorumlarda bahsettiğiniz bir terim gibi görünecektir, maalesef olumsuz terimlerin kardinalitesi veya bunlarla ilgili içgörüsel sınırlarla ilgili sonuçları bilmiyorum.

— burkulma
kaynak