Fonksiyon boşluklu endüktif tipler için kapatma düzenekleri

Sonlu ürün ve toplamlar inşa Functors kapanması sıra var içinde güzel ayrıntılı, bu yazının Francois METAYER tarafından. örn . yinelemelerinden sonra sabit noktasına ulaşan functorunu yineleyerek endüktif tipine ulaşabiliriz .$\omega$$nat := \mu X. 1 + X$$1 + X$$\omega$

Ancak gibi sürekli üs alma işlemine izin verdiğimizde , yeterli değildir.$\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$$\omega$

Üslüm içeren sonuçlar arıyorum. Ne tür ordinallar yeterlidir?

Özellikle takdir edilen, bu tür işlevlerin bir kanıtı sunan bir referans olacaktır. $\alpha$- bazı ordinal için sürekli $\alpha$ yukarıdaki makalede olduğu gibi.

Sorunuzun cevabı, en önemlisi işlev alanlarınızın boyutu olan birkaç şeye bağlıdır . Açıklayacağım. Tanımlamak

$$O_0 = nat$$ $$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$$ Cevabınızda belirttiğiniz gibi, her biri $O_n$dahili olarak kabul edilebilir$n$- Sisteminizin normal kardinalidir. Küme teorisinde, bu veri tipi gerçek bir ordinal ile temsil edilebilir ve uygun şekilde çok büyüktür.

Bununla birlikte, bu tür yapılar tip teorisinin bazı versiyonlarına eklenebilir ve soru şu hale gelir: bu yapıya bir set-teorik yorum vermek için hangi sıraya ihtiyaç vardır ? Şimdi kendimizi yapıcı semantikle kısıtlarsak , doğal bir fikir, her türü, bu türün "gerçekleştiriciler" kümesiyle yorumlamaya çalışmaktır.$\lambda$-termler veya eşdeğer olarak doğal sayılar $\mathbb{N}$.

Bu durumda, ordinalin herhangi biri için sayılabilir olduğunu göstermek kolaydır $O_n$, ama bu ordinal çok hızlı büyür. Ne kadar hızlı? Yine, bu işlevler oluşturmaya çalışırken sahip olduğunuz özgürlük miktarına bağlıdır. Bu tür ordinalleri inşa etme teorisi, Wikipedia'nın şaşırtıcı bir şekilde söyleyeceği çok şey olan Büyük Sayılabilir Ordinaller teorisinde açıklanmaktadır . Genel olarak, yapı işlevlerini yapıcı olmayan araçlara izin vermedikçe, söz konusu ordinallerin Church-Kleene Ordinal'den daha küçük olduğunu göstermek kolaydır ($Beaver(n)$ şu makineler için meşgul kunduz numarasını hesaplayan $n$ devletler).

Yine de çok fazla bir şey söylemez, ancak yapıcı bir teoride, yorum oluşturmak için sadece yapıcı ordinallere ihtiyacınız vardır. Söylemek için biraz daha var. İlk olarak, bir çok güzel sunum var Thierry Coquand o ayrıntılar o tüm diğer türleri için bir imha edici yokluğunda ama$nat$, inşa edebilirsin $O_1$ Tam olarak $\epsilon_0$ adımları tekrarlayın.

Genel olarak, bir tür teorisinin mantıksal gücü ile bu şekilde temsil edebileceği en büyük ordinalin büyüklüğü arasında bir yazışma olduğu görülmektedir. Bu yazışma, altmışlı yılların sonundan beri çok uzun süredir incelenmiş olan ve bugün hala araştırılmakta olan (bazı şaşırtıcı açık sorularla) Ordinal Analizin konusudur. Yine de uyarı: konu büyüleyici olduğu kadar tekniktir.

Bu yardımcı olur umarım.

Sanırım Set gibi kategorilerde yeterince çalışan bir cevap buldum. İlk cebirlerde ve terminal kömürgeralarda Teorem 3.1.12 : Adamek, Milius ve Moss tarafından yapılan bir araştırma .

Cevap, tüm bu işlevler için hiç kimsenin yeterli olmadığıdır. Onlar keyfi olarak büyürler.

Daha doğrusu, $F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$, cevap tüm normalden daha büyük olan ilk normal sıra$A_i$. Diyoruz$\alpha$ herkes için düzenli ise $\beta < \alpha$, herşey $\beta$-indeks ordinal zincirleri < $\alpha$ üstün olmak < $\alpha$. Kabaca,$\alpha$ daha küçük ordinal zincirinden ulaşılamaz.

Anahtar sonuç şudur: $\alpha$ düzenli bir ordinal, iyi kurulmuş $\alpha$- dallanan ağaçlar sonsuz derinliğe sahiptir < $\alpha$.

Gayri resmi olarak, onu herhangi bir şekilde anlıyorum $f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ (yani $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$) "sığar" $A_k \rightarrow F^j(0)$ nerede $j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$. o$j < \alpha$ bekletme kesin çünkü $\alpha$ düzenli ve $|A_k| < \alpha$.

Yani $(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$ her biri için $k$.

Yani bunu $+$s ve $\times$s, biz var: $F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$ve böylece sabit noktaya ulaştı. $\alpha$.

Yine de bu argümanın Set'in ötesinde nasıl genelleştirileceği açık değil. Nasıl alırız$A_k$endeksli ikramlar?