Monoton Kuantum Devreleri Kavramı

Hesaplamalı karmaşıklıkta, monoton ve genel hesaplamalar arasında önemli bir ayrım var ve Razborov'un ünlü bir teoremi, 3-SAT ve hatta MATCHING'in monoton Boole devreleri modelinde polinom olmadığını iddia ediyor.

Sorum basit: Monoton devreler için kuantum bir analog var mı (veya birden fazla)? Kuantum Razborov teoremi var mı?

Gerçekten iki farklı soru soruyorsunuz ve her ikisine de cevap veren tek bir yanıt olduğunu umuyorsunuz: (1) Hangi kuantum monoton devreleri doğal kavramı var? (2) Kafes tabanlı Razborov tarzı kuantum sonucu nasıl görünür?

İkisine aynı anda nasıl ulaşılacağı belli değil, bu yüzden bana makul bir kuantum monotonik devreler nosyonu (buna karşılık gelen bir Razborov sonucunun olup olmadığını göstermeden) ve tamamen farklı bir nosyon olduğunu gösteriyor. "doğal" bir kuantum Razborov düşüncesinin neye benzeyeceğini (doğru olup olmadığını belirtmeden).

Kuantumdan ne istiyoruz

Yorumlarda da belirttiğim gibi, monotonik devreler kavramını bir unitarity kalıbı haline getirmeye çalışmanın gerekli olmadığını düşünüyorum. Zamanlı evrimin standart temeli korumasına gerek olmadığı ya da sonuçların dolaştırılabileceği birden fazla ölçüm tabanının mevcut olduğu gerçeğinde, kuantum hesaplamanın olmazsa olmadığının bir gerçek olduğunu düşünüyorum. standart temel tek temel değildir. Ürün durumları arasında bile, sadece bir referans çerçevesi seçimi ile tanımlanan bazı uygulamalardadır.

Yapmamız gereken şey, standart temeli geleneksel imtiyazlı konumundan uzaklaştıracak şekilde düşünmek - ya da bu durumda, anlamlı bir monotonite kavramını koruyarak mümkün olduğu kadar.

Kuantum monoton devrelerin basit bir modeli

Tsuyoshi Ito'nun "monoton kuantum kanalları" ile ilgili yorumunda örtük olan bir devre modeli düşünün (ve kişi üniter evrimle sınırlı olmayan bir "devre" kavramı isterse ne yapması gerektiğine çok dikkat eder).

Let ile Hermitsel operatörlerinin uzay C 2 (yani tek bir QuBit tüm yoğunluk operatörleri içeren). Nasıl kuantum monoton kapı tanımlamak G : H , bir ⊗ H b → H , c , iki girişinden qubits bir , b bir çıkış qubit için c etkili klasik bir monoton kapısı olmadığını şekilde,? Çıktının | ile sınırlı kalmaması gerektiğini söylemenin kolay olduğunu düşünüyorum. 0 $\mathbf H$$\mathbb C^2$$\mathsf G: \mathbf H_a \otimes \mathbf H_b \to \mathbf H_c$$a,b$$c$veya | 1 $|0\rangle\!\langle 0|$veya bunların karışımları; bu "monoton" olması için require 1 $|1\rangle\!\langle 1|$ve ⟨1$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_a}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$artış değeri⟨1| G(ρ a b )| 1,azalanolmamalıdır. İki girişli bir giriş kapısı için bu,G'ninprensip olarak uygulanabilir olması gerektiğianlamına gelir.$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_b}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$$\langle 1 | \mathsf G(\rho_{ab}) | 1 \rangle$$\mathsf G$

1. bazı ortonormal temellere göre iki-bitlik bir ölçüm yapmak , nerede | u ⟩ , | ν ⟩ Hamming ağırlıkça 1 alt uzayını ve$\{ |00\rangle, |\mu\rangle, |\nu\rangle, |11\rangle \}$$|\mu\rangle,|\nu\rangle$

2. çıktı olarak ölçülen sonuca karşılık gelen durumu olarak üretilmesi , buradaHer için .$\rho \in \{ \rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11} \}$A, ∈ { μ , ν $\langle 1 | \rho_{00} | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_\lambda | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_{11} | 1 \rangle$$\lambda \in \{ \mu, \nu \}$

Devreler bunların mantıklı bir şekilde kompozisyonlarıdır. Aynı zamanda ve ; Her girişinde (nominal olarak klasik) giriş bitinin kopyalanmasına izin vermek için girişlerde bu haritalara en azından izin vermeliyiz.| 1 ⟩ dönüs ümü altında, | 11 ⋯ 1 $|0\rangle \mapsto |00\cdots 0\rangle$$|1\rangle \mapsto |11\cdots 1\rangle$

Bu tür kapıların tüm sürekliliğini göz önünde bulundurmak ya da bu tür kapıların sınırlı bir koleksiyonunu sınırlamak makul görünmektedir. Herhangi bir seçenek, devreler için farklı bir "kuantum monoton geçit temeli" ortaya çıkarır; farklı monoton tabanların hangi özelliklere sahip olduğu düşünülüyor. Devletlerin seçilebilir tamamen bağımsız bir şekilde, monotonicity bir değerle; hiç şüphesizveBuna rağmen teoride bunu gerektirecek bir neden görmüyorum Açıkçası, VE ve VEYA bu tür kapılar, buradave ρ 00 = | 0 $\rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11}$ρ 11 = | 1 $\rho_{00} = |0\rangle\!\langle 0|$ρ μ = ρ ν = | 0 $\rho_{11} = |1\rangle\!\langle 1|$ρ μ = ρ ν = | 1 $\rho_\mu = \rho_\nu = |0\rangle\!\langle 0|$| u ⟩ | vA $\rho_\mu = \rho_\nu = |1\rangle\!\langle 1|$Sırasıyla, hangisi veya olarak .$|\mu\rangle$$|\nu\rangle$

Herhangi bir sabit k için , k -giriş-bir-çıkış geçitleri dahil geçit tabanları da düşünülebilir . Bu durumda en basit yaklaşım muhtemelen yukarıdaki gibi uygulanabilecek olan kapılara 'ye izin vermek, alt her Hamming ağırlığı ve bunu gerektiren her biri içinV w ⩽ H ⊗ k 2 0 ⩽ w ⩽ k maks | ψ ⟩ ∈ V$\mathsf G: \mathbf H^{\otimes k} \to \mathbf H$$\mathcal V_w \leqslant \mathcal H_2^{\otimes k}$$0 \leqslant w \leqslant k$0 ⩽ w <

$$\max_{|\psi\rangle \in \mathcal V_w}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle \;\;\leqslant\;\; \min_{|\psi\rangle \in \mathcal V_{w+1}}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle$$ $0 \leqslant w < k$ . Bunun size ne kadar ilave hesaplama gücü sağlayacağı belli değil (klasik davada bile).

Klasik durumun ötesinde bu tür devreler hakkında söylenecek ilginç bir şey olup olmadığını bilmiyorum, ama bu bana "kuantum monoton devre" nin en umut verici aday tanımı gibi görünüyor.

Razborov'un sonucunun kuantum çeşidi

Razborov'un CLIQUE monoton karmaşıklığı için sonuçlarını güçlendiren (ve onun tekniklerinden bazılarını açıklayan ) Alon & Boppana (1987), Combinatorica 7 sayfa 1-22'nin sonuçlarının Tim Gowers tarafından açıklanmasını düşünün . Gowers bunu “yarı boşluklardan” özyinelemeli kümeler ailesinin yapısı olarak sunar. için boolean küpün . Temel setlerde standart bazın ayrıcalıklı pozisyonunu kaldırırsak, Quantum Lovász Yerel Lemma'ya benzer şekilde, alt düşünebiliriz. 1 ⩽ j ⩽ n H ⊗ n 2 n A j = U j E

$$E_j = \Bigl\{ \mathbf x \in \{0,1\}^n \;:\; x_j = 1 \Bigr\}$$ $1 \leqslant j \leqslant n$$\mathcal H_2^{\otimes n}$Ölçümden kaynaklanabilecek bir ikili önermeye (bir devletin alt alana ait veya ortogonal olup olmadığı) karşılık gelmesi. Örneğin, verilen alt Alt uzayların birleşme ve ayrılma kuantum-mantıksal analoglarına izin veririz : $n$$\mathcal A_j \leqslant \mathcal H_2^{\otimes n}$A ∧ B = A ∩ B ; Bir ∨ B = A + B = { a + $$\begin{align*} \mathcal A_j = U_j \mathcal E_j \;, & \text{ for each $1 \leqslant j \leqslant n$} \\ \text{where } &\mathcal E_j := \Bigl\{ | \mathbf x \rangle \;:\; \mathbf x \in E_j \Bigr\} ; \\ &U_j : \mathcal H_2^{\otimes n} \to \mathcal H_2^{\otimes n} \text{ a unitary of bounded complexity}. \end{align*}$$ CΠCCΠK(r)r‖ΠC-ΠK(r)‖∞ $$\begin{gather*} \mathcal A \wedge \mathcal B = \mathcal A \cap \mathcal B ; \\ \mathcal A \vee \mathcal B = \mathcal A + \mathcal B = \Bigl\{ \mathbf a + \mathbf b \,:\, \mathbf a \in \mathcal A\;,\; \mathbf b \in \mathcal B \Bigr\} . \end{gather*}$$ Sonra bağlaçlar ve boşlukların kopukluklar özyinelemeli yapı bir boşluk elde etmek için gerekli olan ne kadar sorun , bu şekilde projeksiyon üzerine farklılık sadece biraz projektörden büyüklüğüne sahip olan klipsli grafiklerin gösterge fonksiyonları ile kapsanan boşluğa ; Mesela,$C$$\Pi_C$$C$$\Pi_{K(r)}$$r$$\| \Pi_C - \Pi_{K(r)} \|_\infty <\; 1/\mathrm{poly}(n)$. Monotonik kısım, kuantum mantıksal işlemlerinde yer alır ve girdi hakkındaki ilkel önermeler de kuantumdur.

Genel durumda, bunu bir hesaplama problemi olarak ele almada bir sorun vardır: ayrılma, ve sadece, gidilen projektörlerin görüntüleri olmadıkça. Bu genel sorun, hala geometrik-kombinasyonsal karmaşıklığın ilginç bir sonucu olarak ele alınabilir ve sinirli yerel Hamiltionianlarla ilgili sonuçlara yol açabilir. Bununla birlikte, yalnızca alt olmasını zorunlu kılmak daha doğal olabilirB A j U $\mathcal A$$\mathcal B$$\mathcal A_j$commuting projektörlerinden kaynaklanmaktadır, bu durumda ayrılma sadece bu projektörlerin ölçüm sonuçlarının klasik VEYA'sıdır. O zaman U_j hepsinin aynı olmasını talep edebiliriz ve bu monoton klasik post-işlem (bu olaylar üzerinde mantıksal işlemleri yapan) ile üniter bir devre ("ilkel olaylara" yol açar) ile ilgili bir problem haline gelir.$U_j$

Ayrıca, boşluklarına başka bir sınırlama , standart temel durumları bazı boşluklarla çok yüksek örtüşmeli bir alt uzay olabileceğini . bu, olan ikili dizelerdir .E ⊥ k x ∈ ˉ E k x k =$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\mathbf x \in \bar E_k$$x_k = 0$

• Bu olasılık sizi gıcırtılı , her zaman en az arasındaki herhangi bir ayrılma açısına sahip olmasını isteyebilirsiniz. (bu nedenle ilk alt uzay olduğu, en kötü ihtimalle, yaklaşık) bitlerinin bir 1 olarak ayarlanır ki burada bölme odasının arasından tarafsız.E ⊥ k$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\frac{\pi}{2} - 1/\mathrm{poly}(n)$

• Eğer böyle bir kısıtlama getirmiyorsak, bana göre ile üst üste gelen alt uzayları kabul etmenin CLIQUE (r) 'ye yaklaşmanın önünde bir engel olabilir; ya belirli bir kenarın yokluğunu (varlığından ziyade) göz önüne almakla daha az ya da çok kısıtlanırdık ya da kenarlardan birini tamamen görmezden gelmek zorunda kalırdık. Bu yüzden, eğer birinin amacı basit bir kuantum önermelerinden CLIQUE'yi tekdüze olarak değerlendirmeyi düşünmeyi , bunların hepsinin bir commuting projektör kümesinin görüntüleri olması dışında , herhangi bir kısıtlama çok önemli olduğunu düşünmüyorum. ". En kötüsü, klasik olarak girişte kapıları girmemek için izin verir (ve olumsuzlamadan sonra tüm fanların çıkarılması).$\mathcal E_k^\bot$$\mathcal A_j$

Yine, taban kümelerinin keyfi alt uzayları ile değiştirilmesinin sadece subspaces ; kendimizi CNF formülleriyle (eğer gidip ya da gidip gelmeyen durumda) sınırlandırırsak, elde ettiğimiz sonuçlar, temel durum manifoldu standart temelden oluşan, hayal kırıklığına uğramamış bir Hamiltonian'ın karmaşıklık kavramına tekabül eder. cliques temsil eden devletler.$\mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal E_j$

Robin ve Tsuyoshi'nin yorumlarıyla kanıtlandığı gibi, monoton devreler nosyonunun kuantum devrelerine kolayca genişletilebildiği görülüyor.

Kuantum monoton devresinin anlamlı bir tanımını yapabilmek için, monotonisitenin tanımlandığı kuantum durumları için bir sipariş seçmemiz gerekir. Klasik olarak makul bir seçenek (ve monotonik devrelerin normal nosyonuna yol açan) Hamming ağırlığıdır, ancak keyfi bir fonksiyon tarafından verilen bir düzeni düşünelim .$f$

Kapalı bir kuantum sisteminin evrimi (biz verilir varsayabiliriz ki üniter olduğundan ), sonra her devlet için öyle ki alternatif bir durum vardır bu şekilde ancak kendileri için ve dolayısıyla evrim monotonik değildir.$U$$|\psi\rangle$$f(U|\psi\rangle)>f(|\psi\rangle)$$|\phi\rangle$$f(|\phi\rangle) > f(|\psi\rangle)$$f(U|\psi\rangle)>f(U|\phi\rangle)$$U$

Böylece göre monotonik sadece devreler olanlardır ki tüm . Göre monotonik olan Böylece herhangi bir kapı seti ile gidip kapıları oluşmaktadır .f ( u | ψ ⟩ ) = f ( | ψ ⟩ ) | ψ ⟩ f $f$$f(U|\psi\rangle)=f(|\psi\rangle)$$|\psi\rangle$$f$$f$

Açıkçası, bunu tatmin edebilecek olan kapı setleri tanımına bağlıdır . Eğer sabittir, o zaman tüm kapıları setleri buna göre monotonik bulunmaktadır. Seçtiğimiz Ancak, hesaplama bazında (bir miktar doğal uzantısı devletlerin Hamming ağırlığı olarak klasik durumda kullanılan), biz ilginç bir yapı olsun. Uygulanan kısıtlama Hamming ağırlığının değişmeden kalmasını gerektirir. Bu tutarı koruyan işlemler, çapraz işlemler veya kısmi SWAP'lar veya bunların kombinasyonlarıdır. Bu yapı fizikte sık sık (sıkı ciltleme modellerinde vb.) Ortaya çıkar ve Aaronson ve Arkhipov tarafından incelenen Boson saçılma sorununa benzerf f $f$$f$$f$$f$, aynı olmasa da (biraz farklı bir saçılma problemidir). Ayrıca onun için devreleri içermektedir IQP klasik verimli simulable olmamalı dolayısıyla, vb.

temelde iki büyük alanın sınırında, yani boole devreleri ve QM hesaplama gibi, matematikte bazen "köprü teoremi" olarak adlandırılan şeyin olasılığı hakkında iki farklı soru sormaktasınız:

• monoton devrelerin kuantum analoğu

• Razborovs thm kuantum analoğu

Kısa samimi cevap şu ana kadar hayır ya da değil .

(1) için, bir soru kadar zor olmasa da, yine de nadiren dikkate alındığında, literatürde ilgili bir durum olarak alınabilecek aşağıdaki referansı ortaya koydu.

Gharibian ve Kempe tarafından kuantum problemlerinde yaklaşıklık zorluğu

bazı "monoton" problemlerini kuantum bağlamında, örneğin QMSA, "Kuantum Monoton Minimum Tatmin Edici Ataması, QMSA", yani bir SAT QM analoğu olarak görürler; (ayrıca başka bir problem olan Kuantum Monoton Minimum Ağırlık Sözlüğü, QMW) ve bazı yaklaşık sertlik sonuçları, yani daha düşük sınırlar gösterir. kendi başına monoton kuantum devrelerini göz önünde bulundurmazlar ama bir fikir, QMSA'nın monoton işlevini çözen bir kuantum devresi veya algoritmasının bir QM analogu olarak alınabileceği olabilir.

(2) 'ye gelince, eğer "şimdiye kadar" görünmediği ortaya çıkarsa, çok ileri bir sonuç olurdu. Razborov's thm temelde alt sınır "darboğaz" tipinde bir sonuç olarak göze çarpıyor ve (monoton) devre teorisinde rakipsiz bir sonuç olarak kabul ediliyor.

bu yüzden kabaca evet demek elbette, QM hesaplamasında bulunan, örneğin doğrudan ürün teoremleri ile ilgili, bazı anketler için bkz.

Spalek'in Kuantum Algoritmaları, Düşük Sınırları ve Zaman-Uzay Değişimi

bununla birlikte, tartışmalı bir şekilde daha iyi bir analog QM hesaplama alt sınırı, bir qubit işlem sayısına veya muhtemelen bir monoton işlev için Toffoli kapıları gibi "komple" geçitlere dayanarak daha düşük bir sınır getirecektir . bu tür ispatların farkında değilim.

Başka bir yaklaşım, analizi, geçitleri ters çevrilebilir kılmak için ilave "ancilla" uçları eklenmiş özel kuantum AND ve OR kapılarıyla sınırlayabilir.