Olasılıksal ispat sistemlerinde tek taraflı hatalar

Çoğu olasılıklı ispat sisteminde (örneğin PCP teoremi), hata olasılıkları genellikle yanlış pozitiflerin yanında tanımlanır, yani tipik bir tanım şöyle görünebilir: eğer varsa doğrulayıcı her zaman kabul eder, ancak diğer durumda reddetme olasılığı en az 1 / 2'dir.$x \in L$

Hatanın diğer tarafında olmasına izin verirken bir sorun mu var? Bu, doğrulayıcının gerektiğinde her zaman reddettiği ve kabul etmesi gerektiğinde sürekli bir hatadan daha fazlasını yapmadığı anlamına gelir. Bir diğer bariz olasılık, her iki tarafta da hataya izin vermektir. Bu tanımlar genellikle verilen tanımla aynı mı olacak? Yoksa farklı davranıyorlar mı? Veya bu konuda, diğer taraftaki hatalara izin vermede gerçek bir sorun var mı?

Tamlık hatasına izin vermenin bir sorunu yoktur ve genellikle dikkate alınır. İşte bazı işaretçiler .

Öte yandan, genel olarak konuşursak, sağlamlık hatasına izin vermemek bir modelin gücünü önemli ölçüde ortadan kaldırır.

Etkileşimli ispat sistemleri söz konusu olduğunda, sağlamlık hatasına izin vermemek, bir kanıtlayıcıdan doğrulayıcıya tek yönlü iletişim dışında etkileşimi işe yaramaz hale getirir; yani mükemmel sağlamlığa sahip IP, NP'ye eşittir. Bu, doğrulayıcının rastgele bitlerini tahmin eden bir NP makinesi ve doğrulayıcının [FGMSZ89] kabul etmesini sağlayan etkileşimin transkripti dikkate alınarak gösterilebilir.

Olasılıkla kontrol edilebilir kanıt (PCP) sistemleri söz konusu olduğunda, aynı akıl yürütme, mükemmel sağlamlık gerektirmenin sorgulanacak yerleri seçmek için rasgeleliği işe yaramaz hale getirdiğini göstermektedir. Daha doğrusu, c ( n ) tamlığı ve mükemmel sağlamlığı (uyarlanabilir sorgular ile bile) olan PCP ( r ( n ), q ( n )), A = ( A _evet , karar problemlerinin C sınıfına eşit olduğu gösterilebilir. A _no ) bunun için P dilinde B ⊆ {0,1} * × {0,1} * × {0,1} * dili vardır.

• Eğer x ∈ bir _evet , o zaman Pr _{y ∈ {0,1} ^{r ( n )}} [∃ z ∈ {0,1} ^{q ( n )} bu şekilde ( X , Y , Z ) ∈ B ] ≥ C ( N ,) ve
• Eğer x ∈ bir _bir , daha sonra ∀ y ∈ {0,1} ^{r ( n )} ∀ z ∈ {0,1} ^{q ( n )} , ( x , y , z ) ∉ B ,

burada n = | x |. (Sınıf tanımında olduğu Not C , evet durum bir bütün sertifikası gerektirmeyen doğrulayıcı rastgele dize almadan önce hazırlanacak y Sertifika bilerek sonra hazırlanabilir. Bir PCP sisteminin olağan tanımı aksine, y , ve sadece sertifika sorgulanan bölümü uzunluğu neden olan, gerekli olan z olan q ( n . basit alt sınır ile birlikte)), bu şu anlamlara gelir:

• Mükemmel sağlamlığa sahip PCP (log, log) = P.
• Mükemmel sağlamlığa sahip PCP (poli, log) = RP .
• Mükemmel sağlamlığa sahip PCP (poli, poli) = NP.

Bunları PCP teoremleri ile PCP (log, O (1)) = NP ve PCP (poli, O (1)) = NEXP ile karşılaştırarak, mükemmel sağlamlık gerektirmenin büyük bir etkisi olduğunu görebiliriz.

[FGMSZ89] Martin Fürer, Oded Goldreich, Yishay Mansour, Michael Sipser ve Stathis Zachos. Etkileşimli ispat sistemlerinde bütünlük ve sağlamlık üzerine. Gelen Rastgelelik ve Hesaplama , vol. 5 Bilgisayar Araştırma Gelişmeler , s. 429-442, 1989 http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/PS/fgmsz.ps