Rastgele grafiklerde Hamilton döngüsü sayısı

olduğunu varsayıyoruz . O zaman aşağıdaki gerçek iyi bilinir:$G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

$$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$$

Rastgele grafiklerde Hamilton çevrimlerinin sayısı ile ilgili sonuçları bilmek istiyorum.

S1. üzerinde beklenen Hamilton siklus sayısı kaçtır ?$G(n,p)$

S2. Olasılığı nedir kenar olasılığı için p ile G ( n , p ) ?$Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$$p$$G(n,p)$

Yuval'ın dediği gibi, Q1 beklentinin doğrusallığını kullanarak cevaplamak kolaydır (spoiler: ). Q2'ye kesin cevabı bilmiyorum, ancak çok düşük olduğunu biliyorsanız yeterince iyi olabilir: en az bir çevrimin olduğu p aralığı için, P [ birden fazla döngü var | en az bir döngü var ] > 1 - 1 / n log n ya da öylesine. Başka bir deyişle, bir döngü olduğunda, birçok döngü vardır. Bunun nedeni, bir döngü olduğunda, n $(n-1)!p^n$$p$$P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$$n^2$iki "kesişen" kenar ile döngünün iki kenarını değiştirerek ondan başka bir döngü yaratmanın yolları (buna "2-flip" veya ilgili literatürde bir şey denir). Herhangi bir kenar çifti için bunu yapma şansınız . Bunların hepsi başarısız Yani, şans ( 1 - p 2 ) n 2 kabaca olan e - ( p n ) 2 oldukça küçük olduğunu,.$p^2$$(1-p^2)^{n^2}$$e^{-(pn)^2}$