İki yoğunluk matrisinin farkının iz normu, bu iki yoğunluk matrisinin aynı anda köşegenleştirilebileceği anlamına mı geliyor?

Bu sorunun cevabının iyi bilindiğine inanıyorum; ama maalesef bilmiyorum.

Kuantum hesaplamada, karışık durumların yoğunluk matrisleri ile temsil edildiğini biliyoruz. Ve iki yoğunluk matrisinin farkının iz normu, karşılık gelen iki karışık durumun ayırt edilebilirliğini karakterize eder. Burada, izleme normunun tanımı, ekstra bir çarpım faktörü 1/2 ile (iki dağılımın istatistiksel farkına uygun olarak) yoğunluk matrisinin tüm öz değerlerinin toplamıdır . İki yoğunluk matrisinin farkı bir olduğunda, karşılık gelen iki karışık durumun tamamen ayırt edilebilir olduğu bilinirken, fark sıfır olduğunda, iki karışık durumun tamamen ayırt edilemez olduğu bilinmektedir.

Benim sorum şu, iki yoğunluk matrisinin farkının iz normu, bu iki yoğunluk matrisinin aynı anda köşegenleştirilebileceğini ima ediyor mu? Bu durumda, bu iki karışık durumu ayırt etmek için optimum ölçümü almak, ayrık destekle aynı etki alanı üzerindeki iki dağılımı ayırt etmek gibi davranacaktır .

quantum-computing quantum-information

— Jeremy Yan
kaynak

Yoğunluk matrisinin ne olduğunu tanımlayabilir misiniz? sadece pozitif bir matris mi?

— Suresh Venkat

@Suresh: Yoğunluk matrisi, izi 1'e eşit olan hermitiyen, pozitif bir semidefinit matrisidir.

— Tsuyoshi Ito

Sorunun cevabı evettir, çünkü iz mesafesi 1'dir, iki yoğunluk matrisinin dik desteklere sahip olduğunu ima eder.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Belki de bu yorumu bir cevap olarak yazmalısın?

— Robin Kothari

@Robin: Elbette, bitti.

— Tsuyoshi Ito

Yanıtlar:

İlgilendiğiniz gerçeği kanıtlamanın bir yolu.

Diyelim ki ve yoğunluk matrisleridir. Her Hermitsel matrisin gibi, farkı ifade etmek mümkündür olarak için ve pozitif yarı kesin olmak ve dik görüntüleri sahip. (Bazen buna Jordan-Hahn ayrışması denir; benzersizdir ve spektral ayrışmasından kolayca elde edilir .) ve dikey görüntülere sahip olması, bunların aynı anda köşegenleştirilebildiğini ima eder, İlgilendiğiniz mülktür. $\rho_0$ $\rho_1$ $\rho_0-\rho_1$

ρ_{0} - ρ_{1} = P_{0} - P_{1}

$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

ρ_{0} - ρ_{1}

$\rho_0-\rho_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

izleme normu (tanımladığınız gibi, çarpım faktörü 1/2 ile), Bu miktarın 1 olduğu varsayımı altında, kanıtlamak istediğiniz şeyi kanıtlayan ve olduğu sonucuna . $\rho_0-\rho_1$

‖ ρ_{0} - ρ_{1} ‖_{tr} = \frac{1}{2} Tr (P_{0}) + \frac{1}{2} Tr (P_{1}) .

$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

Bu sonucu çıkarmak için, önce ve , . Ardından, sırasıyla ve görüntülerine dik yansımalar olmak için ve . Biz böylece Hem ve $\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$ $\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$ $\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$ $\Pi_0$ $\Pi_1$ $P_0$ $P_1$

Π_{0} (ρ_{0} - ρ_{1}) = Π_{0} (P_{0} - P_{1}) = P_{0}

$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) - Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 1.

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$

Tr (Π_{0} ρ_{0})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$

Tr (Π_{0} ρ_{1})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$ ve olduğu sonucuna vardığımız [0,1] aralığında . Bu denklemlerden ve ve dolayısıyla yukarıdaki denklemle . Benzer bir argüman gösterir .

Tr (Π_{0} ρ_{0}) = 1

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$

Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 0

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$

Π_{0} ρ_{0} = ρ_{0}

$\Pi_0\rho_0=\rho_0$

Π_{0} ρ_{1} = 0

$\Pi_0\rho_1=0$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

— John Watrous
kaynak

Teşekkürler, Prof. Watrous. Aslında, tüm bu iz normu ve yoğunluk matrislerini ders notlarınızdan öğreniyorum.

— Jeremy Yan

Bu yayında tartışılan tüm öğelerin Profesör Watours'un çevrimiçi ders notlarında (ders 3) bulunabileceğini eklemek isterim

— Jeremy Yan

Evet. İki yoğunluk matrisinin iz mesafesi 1'e eşitse, dik destekleri vardır ve bu nedenle aynı anda köşegenleştirilebilirler.

— Tsuyoshi Ito
kaynak

Sanırım cevap evet, ama kanıtı bilmiyorum.

— Jeremy Yan

İki yoğunluk matrisi oluşturan ispatın ana fikri, iz mesafesi bir olduğunda tamamen ayırt edilebilir , iki yoğunluk matrisinin farkını köşegenleştirmektir ; ama aynı temelin iki yoğunluk matrisini köşegenleştirdiğini nasıl kanıtlayabiliriz? Belki bu iki yoğunluk matrisi bu temele göre diyagonal değildir, ancak farklarıdır. Herhangi bir kanıt sunabilir veya kanıt için bazı referanslar verebilir mi? Teşekkür ederim.

— Jeremy Yan