Neredeyse Coğrafyaların Bilgi Çekimi

( Bu soruyu iki hafta önce MathOverflow'a gönderdim , ancak şimdiye kadar çok katı bir cevap vermedim)

Yönlendirilmemiş basit grafiklerin grafik genişliği ölçüleri hakkında bir sorum var. Bilindiği gibi, (ayrık sendika ve tamamlama işlemleriyle oluşturulabilen grafikler, izole edilmiş köşelerden başlayarak) grafiklerin en fazla 2 kat daha küçük çaplı olduğu bilinmektedir (Courcelle et al, Üst sınırlar, grafiklerin klik genişliğine kadar). Şimdi bazı sabit olmayan negatif tamsayı k düşünün ve grafiklerin sınıf düşünün şekilde grafikler her için kümesi bulunmaktadır at Çoğu K, nin bir cograf olduğu gibi köşelerdir. grafik sınıfı , en fazla ekleyerek grafiklerden oluşturulabilecek grafiklerin sınıfı olarak da görülebilir. G=(V,E)∈ G k SG[V-S] G k$\mathcal{G} _k$$G = (V,E) \in \mathcal{G} _k$$S$$G[V - S]$$\mathcal{G} _k$$k$köşeleri, bu sınıfa da "cograf" + denir .$kv$

Benim sorum şudur: içindeki grafiklerin kısmi genişliği üzerinde sıkı bir sınır nedir , yani k köşelerini silerek bir grafiğe dönüştürülebilen grafikler nedir?$\mathcal{G}_k$

Bilindiği gibi, bir grafik kullanıcı elde edilir silerek sonra köşe . Bu, bir grafiğinin , köşeleri silinerek grafiğinden elde edilebiliyorsa , ve dolayısıyla içindeki grafiğin cliquewidth olduğunu gösterir. en fazla . Bu üstel bağımlılığın gerekli olup olmadığından emin değilim . Bu bağlamda, tepe noktasını silerek, genişlikteki maksimum düşüşe de ilgi duyacağım; yani, grafikten tek bir tepe noktasını silersek, uç kesimin genişliği ne kadar düşebilir?$G$$H$c w ( lH ) ≤ 2 k ( C w ( G ) + 1 ) G 'H k C w ( lH ) ≤ 2 K ( 3 + 1 ) G k 4 * 2 k$k$$cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)$$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (3 + 1)$$\mathcal{G}_k$$4*2^k$$k$

Bu eski sorunuza cevap vermeye çalışacağım, ancak cevabımın kesin olduğundan emin değilim ancak sizi doğru yöne işaret etmelidir.

İlk önce doğrusal klik genişliğini tartışalım. Bir grafiğin doğrusal klik genişliği ve bir tanesi grafiğe köşe eklerse, bu köşe her zaman benzersiz bir renkle sıralamaya ilk sırada yerleştirilebilir. Dolayısıyla, doğrusal klik genişliği, bir tepe noktası eklediğinizde yalnızca en çok 1 oranında artar.$k$$1$

Gurski ve Wanke, “NLC-genişlik ve doğrusal NLC-genişlik arasındaki ilişki üzerine” sütunlarda sınırsız doğrusal klik-genişliğe sahip olduğunu gösterdi.

Coğrafyaların sınırsız lineer klik genişliğine, ancak krosk genişliğine bağlı olmasına rağmen, herhangi bir iyi klik dekompozisyonu bir ağaç yapısına sahip olmalıdır. Keyfi olarak birçok derin dalı zorlayabileceğimizi göstermeliyiz. Şimdi ağaçlar için yaptığımız gibi yapıyoruz, 2 ^ k'de bir ağaç inşa edelim, k köşeleri ekleyelim ve her bir yaprak benzersiz bir yeni köşeler alt kümesine bağlandı.