Spesifik hesaplanabilir özelliklere sahip sonlu grafiklerin varlığını / yokluğunu gösteren sonuçlar, bazı karmaşıklık sonuçları anlamına gelir

Spesifik hesaplanabilir özelliklere sahip sonlu grafiklerin varlığının (veya yokluğunun) belirli karmaşıklık sonuçlarını (P = NP gibi) ima ettiğini gösteren bilinen herhangi bir sonuç var mı?

İşte tamamen varsayımsal bir sonuç: Belirgin A, B, C ve D kenarları olan sonlu bir grafik varsa, tüm maksimum eşleşmeler A, B, C ve D'nin tümünü içerecek veya A, B, C ve D'den hiçbirini içermeyecek şekilde , sonra P = NP.

Bu tür bir sonuç Lipton tarafından kanıtlanmıştır: "Bir grafiğin büyük bir klikinin olmadığını kanıtlamak: Ramsey teorisi ile bir bağlantı" . Alt sınırdaki varsayımları tamamen grafik teorik sonuçlarla birleştirir.$NP$ içinde yer almıyor $coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$, daha sonra $MAX-CLIQUE$Ramsey düzgün teorik özelliklere sahip grafikler olduğu anlamına gelir. (Tanımlar için makaleye bakınız.) Bu tür grafiklerin gerçekten var olup olmadığını kanıtlamak için herhangi bir ilerleme kaydedilip gerçekleştirilmediğine dair hiçbir fikrim yok.

Üzgünüm, şu anda bu 1 yaşındaki soruya rastladım ...

Aslında, bazı özelliklere sahip açık grafiklerin boole işlevleri için güçlü alt sınırlar içerdiğini gösteren birçok sonuç vardır. Yüksek afin veya projektif boyuttaki grafikler, formüller ve dallanma programları için güçlü alt sınırlar anlamına gelir. Ayrıca hesaplamaların karmaşıklığı üzerinde büyük sonuçlara yol açacak iyi alt sınırlar olan "daha basit" grafik ölçümleri de vardır. Bazılarını çizeyim.

Grafikleri kenar kümeleri olarak görüntüleyin. İzin Vermek$s(G)$ en küçük sayı ol $s$ öyle ki $G$ kesişimi olarak yazılabilir $\leq s$ her biri birliği olan grafikler $\leq s$bicliques (bipartit tam grafikler). Kolay sayım,$s(G)\geq n^{1/2}$ neredeyse tüm iki taraflı $n\times n$grafikleri. Ancak Valiant'ın sonuçlarına göre, her açık iki taraflı grafik$G$ (daha doğrusu bir dizi grafik) $s(G)\geq n^c$ sabit için $c>0$eski bir sorunu çözer: doğrusal boyutta bir günlük derinliği devresi tarafından hesaplanamayan bir boole işlevi verir. Olmadan yoğun grafikler olduğu tahmin edilmektedir.$K_{2,2}$ büyük var $s(G)$.

Daha da iyisi, izin ver $Star(G)$ en az sayıda fanatik olun$2$ oluşturmak için yeterli olan birleşim ve kavşak operasyonları $G$ tam yıldızlarla başlayarak (türün grafikleri $K_{1,n}$ veya $K_{n,1}$). Sayma, grafiklerin çoğunun$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$. Ama herhangi biri$G$ ile $Star(G)\geq (4+c)n$ sabit için $c>0$üstel büyüklükte devreler gerektiren açık bir boole işlevi verir! Grafiğin boyutu varsa$m\times n$ ile $m=o(n)$, hatta bir alt sınır $Star(G)\geq (2+c)n$aynı sonuçlara yol açacaktır. Şimdiye kadar gösterebileceğimiz en iyi şey$Star(G)\geq 2n-1$.

İzin Vermek $Sym(G)$ en küçük sayı ol $t$ bunun için bir alt küme var $T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$ ve bir dizi $t$ bisikletler öyle ki $(u,v)\in G$ içeren bisiklet sayısı $(u,v)$ ait olmak $T$. Tekrar saymak,$Sym(G)\geq n/2$grafiklerin çoğu için. Ama Yao, Beigel ve Tarui'nin sonuçlarına göre$Sym(G)$ daha geniş $2^{poly(\ln\ln n)}$ dışarıda bir boolean fonksiyonu verirdi $ACC$. Uyarı: tek başına "kombinasyonel olarak karmaşık" olmak büyük bir şey ifade etmez$Sym(G)$: Güçlü Ramsey grafikleri var. $Sym(G)=O(\log n)$, Bile $T$ = tek tamsayı kümesi.

Tüm bunların nasıl gerçekleştiğine dair daha fazla ayrıntıyı burada bulabilirsiniz .

Klasik bir örnek Valiant tarafından yapıldı (referansı bilmiyorum ama bunun Hoory, Linial ve Wigderson kitabında genişletici grafiklerde tanımlandığını düşünüyorum ). Valiant açık bir alt sınır gösterdi (Bence belli bir açık fonksiyon$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$ devresi yok $O(n)$ boyut ve $O(\log n)$derinlik - hala kanıtlamaktan uzak olduğumuz bir şey), süper yoğunlaştırıcılar olarak adlandırılan belirli grafik türlerinin var olmadığı varsayımları altında. (Bu asimptotik bir soruydu, sadece bir grafikle ilgili değildi.) Ancak daha sonra bunların var olduğunu gösterdi (ve aslında başka kullanımları var)

Belirli grafikler yerine grafik ailelerinden bahsedersek cevap kesinlikle "evet" tir. Örneğin, Mihail ve Vazirani'nin tüm 0/1 politopal grafiklerinin iyi veya çok iyi kenar genişleticiler olduğu (yani kenar genişlemelerinin 1 / polinom (derece) veya 1 ile sınırlandırıldığı) olduğuna dair bir kanı vardır.

Bu doğruysa, Alon, Jerrum ve Sinclair'in örnekleme stratejisi yoluyla bir dizi açık kombinasyonel ve sayım problemi için verimli randomize Markov zinciri Monte Carlo yaklaşım algoritmaları vardır.

Benzer bir şekilde, çapı fasetler ve grafik derecesinde herhangi bir polinomdan daha hızlı büyüyen çoktoplu grafik aileleri varsa, doğrusal programlama, kenar takip algoritmaları ile güçlü polinom zamanda çözülemez.

Anand Kulkarni'nin yorumuna genişleyen:

Varsayalım ki, polinom zamanında SAT'ı tanıyan deterministik bir Turing makinesi M var. O zaman M'nin sonlu geçiş ilişkisi bir işlev olacaktır. Polinom zamanında SAT'ı tanıyan TM'leri biliyoruz, ancak geçiş ilişkileri fonksiyon değildir. Geçiş ilişkisinin, bir çift bölmedeki (durum, teyp sembolü), diğer çift bölmedeki (durum, teyp sembolü, hareket) ve çiftlerden üçe kadar yaylara sahip iki taraflı yönlendirilmiş bir grafik olduğunu unutmayın.

Bu nedenle, önemsiz bir işlev olan böyle bir digraf varsa, P = NP.

Tabii ki, bu çok doğal bir tanım değildir, çünkü yardımcı makinenin durum uzayında kabul eden duruma ulaşan her yolun giriş boyutunda bir polinom tarafından sınırlanan uzunluğa sahip olması şartı anlamını gerektirir. Çoklu zaman sınırlamalı Turing makinelerini temsil eden sonlu grafik kümesinin neye benzediği veya bu grafiklerin ilginç grafik teorik özelliklere sahip olup olmadığı hiç de açık değildir.