Pozitif topolojik sıralama, 2.

Bu David Eppstein'ın son sorusunun bir devamıdır ve aynı problemler tarafından motive edilir.

Köşelerinde gerçek sayı ağırlıkları olan bir dagım olduğunu varsayalım. Başlangıçta, tüm köşeler işaretsizdir. İşaretli köşe kümesini (1) işaretlenmemiş selefleri olmayan bir tepe noktasını işaretleyerek veya (2) işaretli halefleri olmayan bir tepe noktasını işaretleyerek değiştirebilirim. (Böylece, işaretli köşeler kümesi her zaman kısmi düzenin bir önekidir.) İşaretli köşelerin toplam ağırlığı her zaman negatif olmayacak şekilde işaretlenmiş tüm köşelerle biten bir dizi işaretleme / işaretleme işlemi bulmak istiyorum. .

• Böyle bir operasyon dizisini bulmak ne kadar zor? David'in sorunundan farklı olarak , bu sorunun NP'de olduğu açık değildir; prensipte (herhangi bir örneğim olmamasına rağmen) her yasal hamle dizisinin üstel uzunluğu olabilir. Kanıtlayabileceğim en iyi şey, sorunun PSPACE'de olmasıdır.

• İşaretleme işlemi aslında gereksiz mi? Geçerli bir taşıma sırası varsa, bir tepe noktasının işaretini kaldırmayan geçerli bir taşıma sırası olmalı mı? Olumlu bir cevap bu sorunu David'inkiyle aynı yapar . Öte yandan, işaretleme bazen gerekliyse, bunu kanıtlayan küçük (sabit boyutlu) bir örnek olmalıdır.

Düzenli 666 araştırma seminerimizde aşağıdaki kanıtı bulduk.

Bazı tanımlarla başlıyoruz. P bizim posetimiz olsun. Basitlik açısından, ağırlıkların hiçbirinin sıfıra ulaşmadığını varsayalım. Bir tepe noktasının ağırlığını w (x) ile ve bir kümenin ağırlıklarının w (X) ile toplamını belirtin. Y kümesinde yer alıyorsa X kümesinin Y-yukarı (kapalı) olduğunu ve X öğesinden daha büyük olan her Y öğesinin de X olduğunu söyleriz. Benzer şekilde X kümesinin Y-aşağı olduğunu varsayalım. Y'de ve X'in bir elemanından daha küçük olan her bir Y elementi de X'tadır. Bu dilde işaretli elemanlar kümesi daima P-down olmalıdır.

Çelişki ile kanıtlıyoruz. Her öğeyi işaretleyen en kısa işaret / işaretini kaldır dizisini alın. Bu dizilere tam diyoruz. Herhangi bir noktada, daha önce işaretlenmiş ancak şimdi işaretlenmemiş öğeler kümesini göz önünde bulundurun. Bu seti U ile belirtin.

Talep: w (U)> 0.

İspat: Herhangi bir U-up setinin (X) ağırlığının pozitif olduğunu kanıtlıyoruz. Kanıt, X boyutunda indüksiyon ile yapılır. X aşağı kümesi varsa, Y, w (Y)> 0 olacak şekilde, o zaman indüksiyondan beri w (X \ Y)> 0 olduğunu biliyoruz (çünkü X-up), w (X)> 0 değerine de sahibiz. Her X-aşağı seti için, Y, w (Y) <0'ımız varsa, o zamana kadar X'in elemanlarının dizimizdeki tüm işaretlerini ve işaretlerini silerek, daha kısa bir tam dizi elde ederiz. İddianın kanıtı ile işimiz bitti.

Şimdi, şu anda işaretlenmemiş öğelerin U kümesi için herhangi bir noktada w (U)> 0 olduğu tam bir dizimiz olduğunu varsayalım. Bundan elde ettiğimiz sırayı, her elemanın ilk işaretini alarak ve hiçbir şeyi işaretlemeden alın. Bunun, işaretli elemanlar setinin her zaman P-down olmasını sağlayan tam bir dizi olacağı açıktır. Dahası, ağırlıkların toplamı her zaman en azından orijinal dizideki kadar olacaktır, çünkü herhangi bir zamanda fark w (U) 'dir. İşimiz bitti.

Bu yöntemle, P'nin tamamını işaretlemek yerine sadece P'nin bir alt kümesini işaretlemek istiyorsak, o zaman bir dizi işaretleme ve ardından bir işaretleme dizisi ile yapılabileceğini kanıtlayabiliriz. Sonunda bazı elementlerin (U) işaretsiz kalması haricinde kanıt aynıdır, ancak herhangi bir U-up setinin ağırlığı pozitif olduğu için bunlar dizinin sonuna taşınabilir.