algoritmaları hangi koşullarda

Her $\epsilon > 0$ , O ( n a + ϵ ) zamanında L diline karar veren bir Turing makinesi $M_{\epsilon}$ olduğunu varsayın . Karar tek algoritma var L zamanlı O ( n, bir + o ( 1 ) ) ? (Burada, o ( 1 ) terimi n , giriş uzunluğu cinsinden ölçülür .)$L$$O(n^{a + \epsilon})$$L$$O(n^{a + o(1)})$$o(1)$$n$

Algoritmalar eğer fark eder $M_{\epsilon}$ açısından, hesaplanabilir veya verimli hesaplanabilir olan $\epsilon$ ?

Motivasyon: birçok kanıtta, $O(n^{a + \epsilon})$ zaman algoritmalarını sınırlayıcı algoritmadan ( n a + o ( 1 ) ) oluşturmak daha kolaydır $O(n^{a + o(1)})$. Özellikle, O ( n a + o ( 1 ) ) sınırına geçmek için cinsinden sabit terimi $O(n^{a + \epsilon})$ gerekir . Doğrudan sınıra geçmek için çağırabileceğiniz genel bir sonuç varsa iyi olur.$O(n^{a+o(1)})$

Soru, bir dizi (yapıcı) nesnenin sınırının yapıcı varlığı ile ilgili sorulara benzer. Genellikle bu nesneleri (burada $M\epsilon$ ) eşit şekilde verimli bir şekilde inşa edebiliyorsanız, sınırın varlığını yapıcı bir şekilde gösterebilirsiniz.

Örneğin, olduğunu varsayalım bir TM çalıştırır M | k | - x üzerinde $N(k,x)$$M_{|k|^{-1}}$$x$ ve çalışma süresi olan burada sınırları örneğin, aynı zamanda böyle bir şey tekdüze ( O ( 2 k . N bir + | k | - 1$O(n^{a+|k|^{-1}})+O(|k|)$$O(2^k.n^{a+|k|^{-1}})$işe yaramaz). Daha sonra , O ( n a + o ( 1 ) ) zamanında çalışan N ( x , x ) makinesini elde etmek için bu tek biçimli simülatörü fonksiyonuyla birleştirebiliriz .$(k,x)\mapsto x$$N(x,x)$$O(n^{a+o(1)})$

Not: , asimptotik notasyonların iç içe geçmesi nedeniyle biraz belirsiz, bunu n a + o ( 1 ) olarak yorumluyorum . Ayrıca ihtiyacımız bir değil çok küçük, mesela en azından olması 1 .$O(n^{a+o(1)})$$n^{a+o(1)}$$a$$1$

Levin'in evrensel arama algoritmasını kullanabilirsiniz. Her nasılsa C k n a + 1 / k zamanında çalışan bir dizi L karar veren algoritmasını sıralayabileceğinizi varsayalım . Levin'in algoritması T zamanında çalışır $A_k$$L$$C_k n^{a+1/k}$ her için k , D K bağlı bir sabittir Cı k . Böylece her için k , τ ( n ) $T(n) \leq D_k n^{a+1/k}$$k$$D_k$$C_k$$k$ Verilenε>0, seçimk=⌈2/ε⌉ve letN=⌈D 2 / ε k ⌉. Sonran≥N,τ(n)≤ϵ için. Bu nedenleτ(n)→0ve Levin'in algoritmasınınna+τ(n)=na

$$\tau(n) \triangleq \frac{\log T(n)}{\log n} - a \leq \frac{\log D_k + (a+1/k) \log n}{\log n} - a = \frac{\log D_k}{\log n} + \frac{1}{k}.$$ $\epsilon>0$$k = \lceil 2/\epsilon \rceil$$N = \lceil D_k^{2/\epsilon} \rceil$$n \geq N$$\tau(n) \leq \epsilon$$\tau(n) \rightarrow 0$ .$n^{a+\tau(n)} = n^{a+o(1)}$