Bir çözüm gömmek SAT için mümkün müdür?

NP-komple problemlerinin "zor" bireysel örnekleriyle ilgileniyorum.

Ryan Williams , Richard Lipton'un blogunda SAT0 sorununu tartıştı . SAT0, bir SAT örneğinin 0'dan oluşan özel bir çözüme sahip olup olmadığını sorar. Bu da beni "zor" olabilecek SAT örnekleri oluşturmayı düşündürdü.

Hemen hemen tüm örneklerin tatmin edilemez olduğu faz geçişinin ötesindeki bölgeye düşmesi açısından "yeterince büyük" olduğu durumlarda cümleleri ve değişkenleri olan bir SAT örneği düşünün . , değerlerine rastgele bir atama olsun .m n α = m / n x $\phi$$m$$n$$\alpha = m/n$$x$$\phi$

O değiştirmek mümkün mü yeni bir örneğini elde etmek , böylece "büyük ölçüde benzer" dır etmek ama böylece için tatmin ödev olduğunu ?ϕ | x ϕ | x ϕ x ϕ | $\phi$$\phi|x$$\phi|x$$\phi$$x$$\phi|x$

Örneğin, her cümleye, maddeden halihazırda bulunmayan, çözümden rastgele seçilen bir değişmezi eklemeye çalışılabilir. Bu, bir çözüm olduğunu garanti edecektir .$x$

Yoksa bu umutsuz mu, aşağıdaki son makalenin satırlarında "gizli" çözümü bulmak için hızlı bir algoritmaya mı yol açıyor?

• Uriel Feige ve Dorit Ron, Doğrusal zamanda gizli kliklerin bulunması , DMTCS proc. AM, 2010, 189-204.

Cook ve Mitchell'in tartışmasının ve referans aldıkları çalışmanın farkındayım. Ancak, açık bir şekilde tatmin edici bir ödev yerleştirmeye çalıştığında formülün yapısına ne olduğu hakkında hiçbir şey bulamadım. Bu folklor ise, işaretçiler çok hoş olurdu!

• Stephen A. Cook ve David G. Mitchell, Memnuniyet Probleminin Zor Örneklerini Bulmak: Bir Anket , Ayrık Matematik ve Teorik Bilgisayar Biliminde DIMACS Serisi 35 1–17, AMS, ISBN 0-8218-0479-0, 1997. ( PS )

Herhangi bir formül ve bunu ; burada , tek çözümü olan "sabit" bir SAT örneğidir . Böyle bir formül oluşturmanın bir yolu kriptografi kullanmaktır: eğer tek yönlü bir permütasyon ise ve rastgele seçip , daha sonra bir dönüştürme şekilde bir SAT formül içine onun sadece çözeltisi ve böylece bulgu tekabül için çevirici . (Bu rastgele olması gerekir, ancak bulmayı düşünürsek benzer bir şey zaten varsayılır.φ ∨ ψ x ψ x x f : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } n x y = f ( x ) y x x f x $\varphi$$\varphi \vee \psi_x$$\psi_x$$x$$f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}^n$$x$$y=f(x)$$y$$x$$x$$f$$x$$x$ zor olmalı.)

Sorunuzun özünü doğru bir şekilde anlarsam, nispeten kolay bir örnek almak istersiniz (çünkü kendinizi olan bir alana koyduğunuzdan ) ve çözüm. Bunun işe yarayacağından şüpheliyim.$\frac{m}{n}> 4.3$

Deneysel veriler, önceden tanımlanmış bir çözümün "etrafında" rastgele bir örnek oluştururken , bu örneğin normalden daha kolay olacağını (aynı ve sahip benzer örneklere kıyasla) önermektedir . Gizli çözüm SAT çözücüye yardım eder ve arama alanında rehberlik eder. Normalde, böyle bir örneği oluşturmak için, her zamanki gibi rastgele yan tümceler üretiriz (örneğin , rassal olarak değişmezleri seçmek ve her birini olasılığı ile reddetmek ), ancak gizli çözüm . İnşa etmenin yaklaşımınızı ilgilendiren Ne için gelen ve sert örneğinin m k p = $x$$n$$m$$k$ xϕ| xϕϕ| xxllϕϕ| xϕϕ| $p = \frac{1}{2}$$x$$\phi|x$$\phi$: Bunu hiç denemedim, ama önemsiz olmasa bile daha kolay olacağını "hissediyorum" . Bunu yapmanın değişmezlerinin isabet sayısını artıracağına inanıyorum (değişmez in isabet sayısı, belirli bir formülde in meydana gelme sayısıdır ) ve bu SAT çözücüyü hedefe yönlendirir. Belki ve çözüm uzayları, Ryan Williams'ın SAT0 örneğinde olduğu gibi (neredeyse aynı özüm uzayları, ancak tamamen farklı sertlik) benzerdir (neredeyse aynı değilse). Uygulamada yaklaşımınızı denediniz mi? Aynı SAT çözücünün ve üzerinde nasıl davrandığını görmek ilginç olacaktır .$\phi|x$$x$$l$$l$$\phi$$\phi|x$$\phi$$\phi|x$

EDIT 1 (23 Eylül 2010): Biraz daha düşündükten sonra, aslında çözüm alanının çok farklı olacağını hissediyorum . Her bir maddeye bir değişmez değer ekliyorsunuz, bu nedenle bu tür maddelere daha fazla özgürlük veriyorsunuz (yani, her bir maddenin tatmin olma şansı daha fazladır): muhtemelen ortaya çıkan çözüm alanı büyük ölçüde dönüştürülür.$\phi|x$$\phi$

EDIT 2 (1 Ekim 2010): Aşağıdaki çok basit ve orijinal olmayan bir fikir düşündüm. İlk örnek ve ödevi verildiğinde :$\phi$$x$

1. tarafından tarafından tatmin tüm bu maddeleri kaldırın . Bu çözüm alanı büyütmek olacak ve olmalıdır gömmek İçinde.x $\phi$$x$$x$

2. maddelerini kaldırdığınızı varsayalım . Şimdi rastgele yan tümceleri ekleyin , tarafından memnun olmadıklarına dikkat edin (bu, çözüm alanını tekrar daraltır, ancak dışarı itmeden ).m x x $m_x$$m_x$$x$$x$

Bunun işe yarayıp yaramayacağını bilmiyorum. Henüz denemedim. Daha kesin olarak, Adım 1'in her zaman çözüm boşluğuna gömmeyi başarabildiğinden emin değilim (belki , her biri tarafından tatmin edilmemiş olsa bile, bazı maddeler kombinasyonu tarafından dışlanır ).x $x$$x$$x$

Farkına vardığım NP-komple problemlerinin zor örneklerini oluşturmanın en iyi yolu, diğer sabit NP problemlerinin (ayrı logaritma problemi veya tamsayı çarpanlara ayırma gibi) dikkatlice seçilmiş örneklerini SAT'a azaltmak için Cook eşlemesini kullanmaktır. Bunlar matematikçiler tarafından RSA ve Diffie-Hellman gibi protokollerde kriptografik güvenlik sağlamak için kullanılan aynı "zor problemlerdir".