Algoritmalar ve yapısal karmaşıklık teorisi

Hesaplamalı karmaşıklık teorisindeki ve özellikle de "yapısal" karmaşıklık teorisindeki birçok önemli sonuç, bazıları için etkili bir algoritma veya iletişim protokolü veren algoritmik sonuçlardan temelde takip ettiği (anlaşıldığı gibi) anlaşılabileceği ilginç özelliğe sahiptir. sorun. Bunlar aşağıdakileri içerir:

IP = PSPACE , etkileşimli protokolleri simüle eden, alan verimli özyinelemeli bir algoritmadan ve tamamen ölçülen boole formülleri değerlendirmek için etkili bir etkileşimli protokolden gelir. Aslında, herhangi bir karmaşıklık sınıfı eşitliği A = B, iki verimli algoritmadan (A için B'ye göre etkili olan ve bunun tersi olan bir problem için bir algoritma) aşağıdaki şekilde görülebilir.
Bazı problemlerin NP eksiksizliğini kanıtlamak , sadece NP problemini azaltmak için etkili bir algoritma bulmaktır.
Zaman Hiyerarşisi Teoremindeki (tartışmalı!) Kritik bileşen , Turing makinelerinin verimli bir evrensel simülasyonudur.
$\not \supset$
PCP Teoremi verimli boşluk amplifikasyon kısıt memnuniyeti sorunları için mümkün olmasıdır.
vesaire vesaire.

Aşağıdaki gibi (! Muhtemelen umutsuzca belirsiz) Sorum şu: edilmektedir (relativisation bariyeri gibi "meta sonuçlar" dan farklı olarak) yapısal karmaşıklığı teoride herhangi önemli sonuçlar var mıdır değil verimli açısından doğal bir yorumunu olduğu bilinen algoritmalar (veya iletişim protokolleri)?

cc.complexity-theory structural-complexity

— Ashley Montanaro
kaynak

Ben karmaşıklık düşünüyorum çünkü ben tür umut cevabı "hayır" dır olduğu algoritmaların gücünü anlamak gerçekten! Ben PARITY’in neredeyse söyleyecektim ama şimdi sanmıyorum. Switching Lemma'yı, devrenin iki sırasını büyük boyutta bir patlama olmadan değiştirmenize olanak tanıyan rastgele bir algoritma olarak görebilirsiniz (ve hatta sıfırlanabilir ) ( eccc.hpi-web.de/report/2012/116 )

A C^{0}

$AC^0$

— Joshua Grochow

AshleyMontanaro: Belki de karmaşıklık teorisi “tanım gereği” algoritmaların (zaman / mekan) verimliliğiyle bağlantılıdır. Verimlilikten uzaklaştıktan sonra, durma sorununun kararsızlığı gibi temel sonuçları buluyorsunuz, ancak artık "karmaşıklık" alanında değilsiniz. Bununla birlikte, kısmi bir cevap vermeye çalışırken, karmaşıklık sınıflarının mantık karakterizasyonunun, “doğrudan” algoritmalara bağlı olmayan farklı bir bakış açısı veren önemli bir sonuç olduğunu düşünüyorum.

— Marzio De Biasi 25:12

Özellikle, NP'in tanımlayıcı karakterizasyonunu varoluşsal ikinci dereceden mantık açısından listeleyecektim. Bu tamamen ifade gücü ile ilgilidir ve temel olarak algoritmalar ile ilgili değildir. Bununla birlikte, Courcelle teoremi bu ayrımın gerçek olmadığını göstermektedir.

— Suresh Venkat

Razborov-Smolensky'nin PARITY'nin AC0'da olmayan kanıtının özünde algoritmik bir sonuç içerdiğini söyleyebilir misiniz? Peki ya sorgu karmaşıklığının düşük sınırları, kuantum bir bilgisayarın sırasız arama problemini sorgularında çözemediğini söyleyenlere ne dersiniz ?

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

— Robin Kothari

ayrıca bakınız: cstheory.stackexchange.com/questions/3229/…

— sdcvvc

Cebirsel karmaşıklıktaki birçok alt sınır için, verimli algoritmalar açısından doğal bir yorum bilmiyorum. Örneğin:

Nisan ve Wigderson'un kısmi türev tekniği
Mignon ve Ressayre'nin Hessian rütbe tekniği (şu anda en iyi bilinen alt sınırın kalıcı ve determinantla sınırlandırılması)
Strassen derecesi (ve Baur-Strassen)
Ben-Or'nun bağlı bileşen tekniği.

Yukarıdaki tüm sonuçlarda, söz konusu özelliğin herhangi bir özel algoritmanın varlığı ile ilgisiz göründüğü yerdeki işlevlerin bir özelliğini kullanıyor gibi görünmektedirler.

Cebirsel olmayan sonuçlar için, işte birkaç düşünce:

alt sınırını sıralama için standart sayım argümanı , verimli algoritmalar açısından bir yorumlamaya sahip görünmüyor. Bununla birlikte, bu alt sınırın [1] 'in ters bir versiyonu vardır, burada çok az karşılaştırma kullanan herhangi bir karar ağacına verilen ve karar ağacının hatalı şekilde sıraladığı bir listeyi verimli bir şekilde oluşturan bir algoritma vardır. Ancak, rakip sürüm zor olmasa da sayım kanıtından önemli ölçüde daha zor. (Not: Bu gibi Birinci hasım örneğin alt sınır teknik uygulanarak alır olandan biraz daha güçlü olduğu bu notları [1] düşman kendisi de, çünkü etkili ). $n \log n$
Sanırım PARITY hakkındaki fikrimi (@RobinKothari'nin belirttiği gibi, Razborov-Smolensky ispatı bile orijinal ispat bile) değiştirdim. Switching Lemma, devrenin iki sırasını büyük boyutta bir patlama olmadan değiştirmenize izin veren randomize ( veya deterministik ) bir algoritma olarak görünse de , bunun gerçekten karmaşıklıkta ortaya çıkan sonuçlardan daha farklı bir lezzete sahip olduğunu düşünüyorum. alıntı yaptığınları. Örneğin, Williams belirli bir problem için iyi bir algoritmanın varlığına bağlı olduğunu kanıtlar . Buna karşılık, eğer biri Switching Lemma gibi bir şeyi yapıcı olmayan bir şekilde ispatlayabilseydi, PARITY'nin olmadığını kanıtlamak için de iyi olurdu . $AC^0$ $ACC \neq NEXP$ $AC^0$

Özellikle standart geçirmez nerede, sıralama - Çünkü bu son iki örnek olan yapısal olmayan - soru sadece çeşitli delillerinden köklülük / etkinliği hakkında da bir türlü verimli algoritmalar açısından doğal yorumlardan hakkında olabilir, ama olmayabilir geliyor bana karmaşıklık sonuçları (OP'nin aklında ne olduğuna bağlı olarak). Yani, standart sıralama alt sınırı yapıcı veya algoritmik değildir, ancak aynı sonucun yapıcı, algoritmik bir kanıtı vardır.

[1] Atallah, MJ ve Kosaraju, SR Sıralamaya yönelik, düşmana dayalı bir alt sınır . Bilgi vermek. Proc. Lett. 13 (2): 55-57, 1981.

— Joshua Grochow
kaynak