İspat sistemleri arkasındaki sezgi

PTIME için p-Optimal Proof Systems ve Mantık Üzerine kağıt altında durmaya çalışıyorum . Makalede ispat sistemleri adı verilen bir kavram var ve ben niyetim yok:

$\Sigma = \{0,1\}$ ... alt kümeleriyle ilgili sorunları tespit ediyoruz. $Q$ içinde $\Sigma^*$.

Bence niyet belirli bir yapıyı $\Sigma^*$ (örn. yönlendirilmemiş grafikler) ve bu yapıların alt kümeleri problemdir (örn. düzlemsel grafikler).

Bir sorun için kanıt sistemi$Q \subset \Sigma^*$ bir amaç fonksiyonudur $P:\Sigma^* \to Q$ polinom zamanında hesaplanabilir.

Şimdi bir olasılık söylemek $\Sigma^*$belirli bir yapıdaki tüm olası modellerin kümesidir (örneğin, yönlendirilmemiş tüm grafikler). Ancak bu mantıklı değil çünkü yönlendirilmemiş grafikler neden bir alt kümede eşlenmelidir? Kodlama turing makineleri olabilir ama bu da mantıklı değil ...

Herhangi bir fikir?

Düşün $\Sigma^{*}$ bir çeşit nesneyi kodlamak ve $Q$bazı özellikleri karşılayan tüm nesneler kümesi olarak. Düşün$P$ bir çifti kabul eden (kodlayan) bir işlev olarak $(x, p)$ nerede $x$ bir nesne ve $p$ "kanıt" olduğu iddia ediliyor $x \in Q$. İşlev$P$ bir "ispat denetleyicisi" dir: $p$ aslında geçerli kanıtları temsil eder. $x \in Q$. Eğer öyleyse, geri döner$x$, aksi takdirde, $Q$.

Örnek olarak, $\Sigma^{*}$ grafikleri kodlar ve $Q$Hamilton grafiklerinin kümesi (kodlama). Mümkün$P$ bu: girişi kodunu çöz $(G, \ell)$ nerede $G$ bir grafik ve $\ell$ köşelerinin bir listesi $G$; doğrula$\ell$ bir Hamilton dönemi $G$; eğer öyleyse geri dön$G$ aksi halde grafiği bir noktaya döndürür.

Düzlemsel grafikleri ele aldınız. Uygun almak için$P$ poli-zaman kontrol edilebilir düzlemsel kanıt kavramına ihtiyacımız var.

Genel olarak $P$ bir çifti kodlaması gerekmez $(x, p)$. Önemli olan şu ki$P$ girdisinden iki parça bilgi çıkarabilir: söz konusu nesne ve nesnenin ait olduğu iddiası $Q$. Örneğin,$Q$bazı birinci dereceden kuramlarda kanıtlanabilir tüm cümleler kümesi. şimdi$P$girişini resmi bir kanıt olarak çözer. Kodlama geçersizse, döndürür$\top$. Kodlama geçerli bir ispatı temsil ediyorsa, ispat tarafından ispatlanan ifadeyi döndürür (ispat resminin nasıl resmileştiğinize bağlı olarak ispat ağacının kökü veya bir ifade dizisindeki son formül olması muhtemeldir).

Prova sisteminin girdisini düşünmelisiniz $P$ kanıt metni olarak $\pi$ bir elemanın $q \in Q$. Metin geçerliyse$P(\pi) = q$, aksi takdirde $P(\pi)$ bazıları düzeltildi $q_0 \in Q$. İstiyoruz$P$ bu da kanıtın doğrulanması kolay olduğu için polytime olmak.

Örnek olarak, $Q$ öneri totolojileri kümesidir ve $P$bir dizi oluşur herhangi Hilbert tarzı geçirmez sistemi, çizgiler ya bir belit veya bir türev kuralı (genellikle Modus Ponens) ile önceki hatları aşağıda her biri. Kanıt geçerliyse,$P$kanıttaki son satırın çıktısını almalıdır. Aksi takdirde, bazı sabit totoloji çıktıları gibi$p \lor \lnot p$.

İlk sorunuza dönersek, $Q$bazı özellikleri karşılayan belirli tipteki tüm yapıların kodlanmasıdır. Bir örnek totolojidir. Başka bir örnek, Hajós hesabı olarak bilinen bir ispat sistemine sahip olan 3 renklendirilemez tüm grafiklerin kümesidir.