CNF neden DNF yerine SAT için kullanılıyor?

Neredeyse tüm SAT çözümleyicilerinin neden DNF yerine CNF kullandığını anlamıyorum. Bana öyle geliyor ki, SAT çözümünü DNF kullanarak daha kolay. Ne de olsa, yalnızca bir dizi kümesi taramanız ve bunlardan birinin hem değişken hem de olumsuzlama içermediğini kontrol etmeniz gerekir. CNF için böyle basit bir prosedür yoktur.

Nedeniyle Karp için 3SAT için SAT gelen ders kitabı azaltılması, rasgele bir Boole formül dönüştüren bir “eşdeğer” CNF boole formülü içine cp ' polinom boyutta olacağı şekilde, Φ , ancak ve ancak, eğer karşılanabilir olduğunu Φ ' karşılanabilir olduğu. (Açıkçası, bu iki formül eşdeğer değildir, çünkü Φ ′ ek değişkenlere sahiptir, ancak Φ ′ değeri aslında bu yeni değişkenlere bağlı değildir.)$\Phi$$\Phi'$ $\Phi$$\Phi'$$\Phi'$$\Phi'$

Rasgele boolean formüllerinden DNF formüllerine benzer bir azalma bilinmemektedir; Bilinen tüm dönüşümler, formülün boyutunu üssel olarak arttırır. Üstelik, P = NP olmadıkça, böyle bir indirim mümkün değildir!

Önemli şeylerin çoğu söylendi ama birkaç noktaya vurgu yapmak istiyorum.

1. DNF formülünün tatmin edilebilirliği P'dir.
2. bir CNF formülünün tatmin edilebilirliği NP'dir
3. Bir CNF formülünün bir totoloji olup olmadığını test etme P
4. DNF formülünün bir totoloji olup olmadığının test edilmesi coNP
5. DNF'yi olumsuzlamak CNF'yi sağlar ve bunun tersi de geçerlidir.

Bu yüzden SAT çözücüler CNF'yi kullanırlar, çünkü bunlar tatmin edilebilirliği hedefler ve herhangi bir formül tatmin ediciliği lineer zamanda korurken bir CNF'ye çevrilebilir.

SAT çözücüleri CNF'yi "kullanmaz" - bunlar (genellikle) CNF'ye girdi olarak verilir ve verilen CNF'yi çözmek için ellerinden geleni yaparlar. Sorunuzda belirtildiği gibi, temsil her şeydir - bir DNF'nin aynı büyüklükteki bir CNF'den daha tatmin edici olup olmadığını söylemek çok kolaydır.

Bu, SAT çözücülerinin neden CNF'lerini DNF'ye dönüştüremediklerini ve sonuçta ortaya çıkan DNF'yi çözememeleri sorununa yol açıyor ve bunun denenmesi, temsil sorunlarının anlaşılması için iyi bir alıştırma.

7 ^inci Eylül 2013: Sayfanın Ayrıntılı cevap eklendi, çek dip

---

Temel olarak, bir DNF formülü cümlelerinin bir birleşimidir . . . ∨ C m, her bir maddesi, c i = L Madde i , 1 ∧ . . . ∧ l i , k değişmezleri bir conjuction olduğunu. Diyelim bir madde diyoruz c ı bir edebi hem de içerir ancak ve ancak çelişkili l ve tersi ¬ l . Her çelişkili olmayan cümlenin sadece 2 n - k kodladığını görmek kolaydır.$c_1 \lor ... \lor c_m$$c_i = l_{i,1} \land ... \land l_{i,k}$$c_i$$l$$\lnot l$$2^{n-k}$formülün çözümleri. Yani tüm DNF sadece bir çözüm sayımıdır. Bir formülün üssel olarak birçok çözümü olabilir, bu nedenle karşılık gelen DNF formülünün üssel olarak birçok cümlesi olabilir. Bu CNF formülünü dönüştürmeyi deneyin:

$l_1 \lor l_2 \lor l_3 \lor l_4$

$l_5 \lor l_6 \lor l_7 \lor l_8$

$l_9 \lor l_{10} \lor l_{11} \lor l_{12}$

$l_{13} \lor l_{14} \lor l_{15} \lor l_{16}$

$l_{17} \lor l_{18} \lor l_{19} \lor l_{20}$

Karşılık gelen DNF formülüne: çok fazla cümle alacaksınız. Bir kelimeyle: CNF kompakt, DNF ise; CNF açık, DNF açık ise.

Aşağıdaki sorun NP tamamlandı: bir DNF örneği verildiğinde, tüm cümleleri yanlışlayan değişkenlerin bir tahsisi var mı?

Yeni bir şey daha farkettim, umarım ayrı bir cevabı hak eder. Sorunun varsayımı tam olarak doğru değil. İkili bir karar diyagramı (BDD) DNF'nin kompakt / rafine bir gösterimi olarak görülebilir. BDD'leri kullanan bazı SAT çözücüleri var, ancak artık görünmediklerini düşünüyorum.

Darwiche ve Marquis tarafından , Boolean fonksiyonlarının çeşitli temsillerinin farklı özelliklerini inceleyen güzel bir makale var .

Bu daha fazla cevap, dividebyzero'nun önceki cevabımdaki yorumuna bir geri bildirim olarak ifade edildi.

Dividebyzero'nun dediği gibi, CNF ve DNF'nin aynı madalyonun iki yüzü olduğu kesinlikle doğru.

Eğer bir tatmin atama bulmak zorunda olduğunda, DNF o manifestedly gösterildiği gibi açık olan onun tatmin atamaları (DNF Gerçeklenebilirlik aittir ) o sarar ve gözlerinden onun tatmin atamaları gizlemek rüzgarları gibi CNF oysa örtülü olduğu (CNF Gerçeklenebilirlik olan N p - c o m p l e t e ). Herhangi bir CNF formülünü katlanarak çözülebilen ve katlanarak boyutlandırılamayan bazı dengelenebilir DNF formüllerine çözebilen herhangi bir prosedür bilmiyoruz. Bu benim önceki cevabımın noktasıydı (ki bu örnek, üstel patlamayı göstermek içindir, bununla birlikte, bu tür bir örnek mümkün olan en iyi seçenek değildi).$\mathbf{P}$$\mathbf{NP-complete}$

Bir tahrif atama bulmak zorunda bunun tersi olarak, CNF o manifestedly gösterildiği gibi açık olan onun tahrif atamaları (CNF Yanlışlanabilirlik aittir ) o sarar ve gözlerinden onun tahrif atamaları gizlemek rüzgarları olarak, DNF oysa örtülü olduğu (DNF Yanlışlanabilirlik bir N p - c o m p l e t e ). Herhangi bir DNF formülünü, üssel olarak ölçülemeyen bazı eşitlenebilir CNF formüllerine çevirip açabilen herhangi bir prosedür bilmiyoruz.$\mathbf{P}$$\mathbf{NP-complete}$

Bir uçta, çelişkilerimiz var, yani tatmin edilemeyen formüller. Karşı ekstremitede Tatolojiler var, yani yanlışlanamayan formüller. Ortada, hem tatmin edici hem de yanlışlanabilir formüllere sahibiz.

değişkenli bir CNF formülünde , k uzunluğundaki her bir cümle açıkça 2 n - k tahrif edici ödevi kodlar .$n$$k$$2^{n-k}$

değişkenli herhangi bir DNF formülünde , k'nin her bir uzunluğu açıkça 2 n - k tatmin edici ödevleri gösterir.$n$$k$$2^{n-k}$

Maddeleri olmayan bir CNF formülü bir Tautology'dir, çünkü herhangi bir tahrif edici atama yoktur. Boş maddeyi (diğer tüm maddelere hükmeden) içeren bir CNF formülü bir çelişkidir, çünkü boş madde ( ) tüm 2 n atamalarının yanlış olduğunu gösterir . Başka bir CNF formülü ya bir çelişki veya ortadan formüllerden biridir (ve bunun N P - C o m p l e t e , bu 2 durumu ayırt etmek).$k = 0$$2^n$$\mathbf{NP-complete}$

$k = 0$$2^n$$\mathbf{NP-complete}$

$2^n$

$2^n$

Bu ışık altında, CNF Satisfiability ve DNF Falsifiability'nin hesaplama sertliği açısından neden eşdeğer olduğu daha açık bir hale gelir. Çünkü bunlar aslında aynı problemdir, çünkü temel görev tamamen aynıdır: birkaç kümenin birleşmesinin tüm olasılıkların alanına eşit olup olmadığını söylemek . Bu görev bizi daha geniş bir sayım alanına götürüyor; alçakgönüllü görüşüme göre, bu sorunlarda önemsiz bir şekilde ilerleme kaydetmeyi ummak için hararetle keşfedilecek caddelerden biriydi Sonunda çığır açan teorik ilerlemeler getirebilirken, kesinlikle şaşırtıcı pratik ilerlemeler getirmeye devam eder).

Bu tür bir işin zorluğu, bu setlerin bir dahil etme - dışlama biçiminde çılgınca örtüşmeleridir.

Bu gibi üst üste binmenin mevcudiyeti, tam olarak saymanın sertliğinin bulunduğu yerdir. Dahası, bu setlerin üst üste binmesine izin vermemiz gerçeği, çözüm alanı yine de üssel olarak büyük olan kompakt formüllere sahip olmamıza izin veren sebep.

Bu konudaki tüm cevapları (özellikle Giorgio Camerani'nin yanıtı) güzel bir masaya dönüştürmeye karar verdim, böylece dualite bir bakışta görülebilir:

$$\begin{array} {r|c|c} &\text{DNF} & \text{CNF} \\\hline \text{tautology/unfalsifiability} & \textsf{coNP-complete} & \textsf{P} \; \tiny\text{(each clause has a pair of P and ¬P)} \\\hline \text{satisfiability} & \textsf{P} \; \tiny\text{(sat. assignments are explicit)} & \textsf{NP-complete}\\\hline \text{falsifiability} & \textsf{NP-complete} & \textsf{P} \; \tiny\text{(fals. assignments are explicit)} \\\hline \text{unsatisfiability} & \textsf{P} \; \tiny\text{(each clause has a pair of P and ¬P)} & \textsf{coNP-complete} \\\hline \tiny{\text{conversion to normal form, retaining equivalence}} & (*) & (*) \\\hline \tiny{\text{conversion to normal form, retaining satisfiability}} & (**) & \textsf{FP} \\\hline \tiny{\text{conversion to normal form, retaining falsiability}} & \textsf{FP} & (**) \end{array}$$

$(*)$: Bu arama problemleri ve ayrıca DNF'den CNF'ye dönüşüm (veya bunun için tam tersi), çıktının büyüklüğü nedeniyle üssel zaman gerektirir. FPSPACE’tedirler; Aslında, polinom-zaman-bit-bit grafikli bir fonksiyonla çözülebilirler, üstel-boyut-çıkış fonksiyonu için mümkün olduğu kadar verimlidirler, ancak bu sınıfın bir isme sahip olduğunun farkında değilim. Çok zamanlı azaltma işlemlerinin olağan kavramları, yalnızca polinom büyüklüğü çıkışı olan işlevler için hassas bir şekilde çalışır; onları mevcut davaya kör bir şekilde uygulamak, tüm bu arama sorunlarını FEXP'nin tekrar çıktı boyutuna bağlı olarak tamamlamasını sağlayacaktır.

$(**)$: Bu arama sorunları, olduğu gibi bir polinom-zaman bit grafikli bir üstel zaman fonksiyonu ile çözülebilir $(*)$. Ancak, onlar da çözülebilir$\mathrm{FP}^{\mathrm{NP}[1]}$ve bunun tersine, çok zamanlı Turing azaltmaları altında NP zordur (bir çok azaltma, bir arama sorununu karar sorunuyla karşılaştırdığımız için burada bir anlam ifade etmez).

Soruya en kısa cevap: DNF aracılığıyla tatmin edilebilirliğin (SAT çözümü) gösterilmesi ancak yukarıdaki tabloya göre üstel bir zamanda yapılabilir.