Bağımlı türlere sahip bir sistemde bir türün yerleşmediğini (yani formül kanıtlanamaz) nasıl gösterebilirim?

Hindley-Milner tipi sistem gibi bağımlı tiplere sahip olmayan sistemler için, tipler sezgisel mantık formüllerine karşılık gelir. Orada modellerinin Heyting cebirleri olduğunu biliyoruz ve özellikle bir formülü çürütmek için, her formülün açık bir alt kümesiyle temsil edildiği bir Heyting cebiri ile sınırlayabiliriz . $\mathbb{R}$

Örneğin, göstermek istiyorsak yerleşim yeri değildir, aşağıdakileri tanımlayarak formüllerden açık alt kümelerine bir eşleme oluştururuz : $\forall\alpha.\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)$ $\phi$ $\mathbb{R}$ Sonra

\begin{aligned} φ (α) & = (- \infty, 0) \end{aligned}

$\begin{align} \phi(\alpha) &= (-\infty, 0) \end{align}$

Bu, orijinal formülün kanıtlanamayacağını gösterir, çünkü bunun doğru olmadığı bir modelimiz veya eşdeğer olarak (Curry-Howard izomorfizmi ile) tipte yerleşim yapılamaz.

\begin{aligned} φ (α \to ⊥) & = int ([0, \infty)) \\ = (0, \infty) \\ φ (α \lor (α \to ⊥)) & = (- \infty, 0) \cup (0, \infty) \\ = R, ∖ 0 . \end{aligned}

$\begin{align} \phi(\alpha\rightarrow\bot) &= \mbox{int}( [0, \infty) ) \\ & = (0,\infty) \\ \phi(\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)) &= (-\infty, 0) \cup (0,\infty) \\ &= \mathbb{R} \setminus {0}. \end{align}$

Başka bir olasılık Kriepke çerçevelerini kullanmak olabilir .

Bağımlı tipte sistemler için benzer yöntemler var mı? Heyting cebirlerinin veya Kripke çerçevelerinin genelleştirilmesi gibi mi?

Not: Karar prosedürü istemiyorum, biliyorum olamaz. Sadece bir formülün ispatlanamazlığına tanıklık etmenizi sağlayan bir mekanizma istiyorum - birini ispatlanamaz olduğuna ikna etmek.

— Petr Pudlák
kaynak

Bir formülün kanıtlanamayacağı esasen iki şekilde yapılabilir. Biraz şansla, tip teorisi içinde, formülün zaten kanıtlanabilir olmadığı bilinen bir yöntemi ima ettiğini gösterebiliriz. Diğer yol, formülün geçersiz olduğu bir model bulmaktır ve bu oldukça zor olabilir. Örneğin, kimlik kanıtlarının benzersizliğini ilk kez geçersiz kılan bağımlı tip teorisinin groupoid modelini bulmak çok uzun zaman aldı .

"Bağımlı tip teorinin modeli nedir?" Sorusu biraz karmaşık bir cevabı var. İkame belirli özelliklerini göz ardı ederseniz, bir model yerel olarak kartezyen kapalı bir kategoridir ve bu en basit cevap olabilir. "Gerçek" bir model istiyorsanız, o zaman birkaç seçenek vardır, bağımlı tip teorisinin kategorik modelleri hakkındaki nLab sayfasına bakın . Her durumda, cevap her zaman biraz karmaşıktır, çünkü bağımlı tip teorisi oldukça karmaşık bir biçim sistemidir.

Konuyla ilgili sadece bir makale önerirsem, muhtemelen Robert Seely'nin "Yerel olarak kartezyen kapalı kategoriler ve tip teorisi" adlı orijinal makalesini tavsiye ederim . Başka bir tane önerirsem, muhtemelen Seely'nin makalesinde neyin düzeltilmesi gerektiğini açıklayan biri olurdu, örneğin Martin Hoffman'ın "Yerel Olarak Kartezyen Kapalı Kategorilerde Tip Teorisinin Yorumlanması Üzerine" .

Bu alandaki son önemli bir gelişme, homotopi-teorik modellerin aynı zamanda bağımlı tip teorisi modelleri olduğunun farkına varılmasıdır, bkz. Homotopytypetheory.org referansları . Bu, çok sayıda olasılık sağlar, ancak şimdi modellere el koymak için homotopi teorisini öğrenmek gerekir.

— Andrej Bauer
kaynak

Bu cevap oldukça güzel, ancak bir türün yerleşim olmadığını kanıtlamanın belki de en basit yolunu göz ardı ediyor: normal formlarda indüksiyon! Özellikle, hariç tutulan orta kısmın bu tür bir indüksiyonla Yapı Analizinde yerleşilemediğini kanıtlamak kolaydır. Tabii ki, o zaman her terimin aynı tipte normal bir şekle sokulabileceğini ve bunun bir model yapıyı içerdiğini göstermeniz gerekiyor ...

— cody

@cody: iyi bir nokta, normal formlar çok faydalı olabilir.

— Andrej Bauer

@cody: "o zaman her terimin aynı türden normal bir biçime konabileceğini göstermeniz gerekir": "iyi" bir tür sistem için metatheory'nin standart bir parçası değil mi? aksiyomları var) veya "iyi" bir mantık (bunun kesilmesinin ortadan kaldırıldığı yer)? Böylece mevcut kanıtları tekrar kullanabilirsiniz, değil mi?

— Blaisorblade

@Blaisorblade: Tabii ki sadece bir kez kesik eliminasyonunu kanıtlamanız gerekiyor. Burada dikkat çeken nokta, model yapıları yerine normal formlarda indüksiyon kullanmanın şu soruya yalvarmanın bir yolu olduğuydu: zaten her terimin normal forma sokulabileceğini göstermek için bir model oluşturuyorsunuz. Bir anlamda kesinlikle sözdizimsel çalışmak yerine "normal form modelinde" çalışıyorsunuz.

— cody

Anlıyorum - "kanıt çabası" nı düşünüyordum, sanırım tüm kanıtın nasıl uygulandığını düşünüyorsunuz. Ama bana yine terim modelleri gibi yapılar verildiğinde sözdizimsel ve anlambilimsel yaklaşımlar arasındaki ayrımı sorguladınız. Bunun üzerine ayrı bir soru sordum: cstheory.stackexchange.com/q/21534/989

— Blaisorblade