Tepe geçişli grafikleri tanımanın karmaşıklığı

Grupları içeren karmaşıklık teorisi alanında bilgili değilim, bu yüzden bu iyi bilinen bir sonuçsa özür dilerim.

Soru 1. Let için basit bir yönsüz grafik olarak . tepe geçişli olup olmadığını belirlemenin hesaplama karmaşıklığı ( cinsinden ) nedir?n n $G$$n$$n$$G$

Hatırlayın bir grafiktir olduğu olan tepe-geçişli olursa ile geçişli hareketbir u t ( G ) V ( G ) $G$$\mathrm{Aut}(G)$$V(G).$

Yukarıdaki tanımın bir polinom zaman algoritmasına izin verip vermediğinden emin değilim çünkü bu, sırasının üstel olabileceğidir .$\mathrm{Aut}(G)$

Bununla birlikte, tepe-geçişli grafikler, verimli bir şekilde belirleyebilmek için kullanılabilecek başka yapısal özelliklere sahiptir, bu nedenle yukarıdaki sorunun durumunun ne olduğundan emin değilim.

Daha fazla yapıya sahip tepe geçişli grafiklerin bir başka ilginç alt sınıfı, Cayley grafiklerinin sınıfıdır . Bu yüzden aşağıdaki ilgili soruyu da sormak doğaldır

Soru 2. Bir grafiğinin Cayley grafiği olup olmadığını belirlemenin hesaplama karmaşıklığı nedir ?$G$

Tam bir cevabım yok, ama her iki sorunun da açık olduğunu düşünüyorum.

Jajcay, Malnič, Marušič [3] makalesi ilk sorunuzla ilgilidir. Tepe geçişini test etmek için bazı araçlar sağlarlar. Giriş bölümünde şunları söylüyorlar:

Belirli bir sonlu grafiktir için , olup olmadığını belirlemek için kesinlikle zordur Γ tepe-geçişli ve nihai cevap sadece tam otomorfizması grubun önemli bir parçası sonra genellikle gelir y belirlenmiştir.$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

Tepe-geçiş testi, grafik izomorfizmi kez test edilerek yapılabilir . Yap iki kopya G ve G ' özel çapa sahip (uzunluk yolları gibi grafik, n + 1 de) u ∈ V ( G ) ve v ∈ V ( G ' ) . Arasında bir izomorfizm vardır G ve G ' ise ve orijinal grafik sahip olması durumunda, bir otomorfizma eşleme U için v . Böylece bir tepe noktasını düzelterek tepe tansitivitesini test edebilirsiniz$n−1$$G$$G'$$n+1$$u \in V(G)$$v \in V(G')$$G$$G'$$u$$v$ ve x'i diğer tüm köşelereeşleyen otomorfizmlerin olup olmadığını kontrol eder.$x$$x$

Ayrıca, tepe-geçiş testi polinom zamanında yapılabiliyorsa, tepe-geçişli grafikler için izomorfizma testi de yapılır. Bunun nedeni, iki köşe geçişli grafiğin, yalnızca ayrık birleşimleri köşe geçişli olması durumunda izomorfik olmasıdır. Tepe geçişli grafikler için grafik izomorfizminin karmaşıklığının bilinmediğine inanıyorum.

2. soru için kısmi bir sonuç buldum. Bir circulant grafik bir siklik grubu üzerinde bir Cayley grafiktir. Evdokimov ve Ponomarenko [2], sirkülasyon grafiklerinin tanınmasının polinom zamanında yapılabileceğini göstermektedir. Ayrıca Alspach [1, Bölüm 6: Cayley grafikleri, Bölüm 6.2: Tanıma] 'nın kitap bölümü sizin için ilginç olurdu, ancak şunu söylüyor:

Rasgele bir grafiğin Cayley grafiği olup olmadığını anlamadaki hesaplama problemini göz ardı edeceğiz. Bunun yerine, Cayley grafiklerinin bağlantı grupları ile birlikte oluşturuldukları gruplar açısından tanımlandığını her zaman varsayıyoruz. Çoğu sorun için bu bir dezavantaj değildir.

1. Beineke, Wilson, Cameron. Cebirsel Grafik Teorisinde Konular . Cambridge University Press, 2004.
2. Evdokimov, Ponomarenko. Sirkülant grafikler: Polinom zamanında tanıma ve izomorfizma testi. Petersburg Math. J. 15 (2004) 813-835. doi: 10,1090 / S1061-0022-04-00833-7
3. Jajcay, Malnič, Marušič. Tepe geçişli grafiklerde kapalı yürüyüşlerin sayısı. Ayrık Matematik. 307 (2007) 484-493. doi: 10.1016 / j.disc.2005.09.039