Sistem F'de (veya başka bir normalize edilmiş λ-hesabını)

18

Tipik olmayan lambda hesabı için denkliğine karar vermenin imkansız olduğunu biliyorum . Barendregt'ten Alıntı , HP Lambda Hesabı: Sözdizimi ve Anlambilimi. Kuzey Hollanda, Amsterdam (1984). : $\beta$

A ve B eşit değilse, eşitlik altında kapalı, boş olmayan lambda terimleri kümeleri ise, A ve B özyineli olarak birbirinden ayrılamaz. Eğer A eşitlik altında kapalı önemsiz bir lambda terimleri kümesiyse, A özyinelemeli değildir. Yani "M = x?" Sorununa karar veremeyiz. Ayrıca, Lambda'nın özyinelemeli modelleri yoktur.

Biz bir normalleştiren sisteminiz varsa, bu tür Sistemi F gibi, o zaman karar verebilir normal formlar aynı veya değilse iki verilen terimleri azaltılması ve karşılaştırarak "dışarıdan" -denklik. Ancak, bunu "içeriden" yapabilir miyiz? Sistem F combinator var örneğin iki, bağdaştırıcılarla söz konusu ve Elimizdeki ise ve aynı normal bir biçime sahiptir, ve aksi? Yoksa bu en azından bazı için yapılabilir mi? Bir birleştirici inşa etmek için $\beta$ $E$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{true}$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{false}$ $M$ $E_M$ öyle ki IFF geçerlidir ? Değilse, neden? $E_M N$ $N\equiv_\beta M$

— Petr Pudlák
kaynak

19

Hayır, bu mümkün değil. Aşağıdaki tipinde iki kişiyi düşünün . $(A \to B) \to (A \to B)$

\begin{array}{l} M = λ f . f \\ N = λ f . λ a . f a \end{array}

$\begin{array}{l} M = \lambda f.\;f \\ N = \lambda f.\;\lambda a.\; f\;a \end{array}$

Bunlar belirgin normal formlardır, ancak bir lambda terimi ile ayırt edilemez, çünkü , bir genişlemesi ve genişlemesi, saf tipli bir lambda hesabında gözlemsel denkliği korur. $\beta$ $N$ $\eta$ $M$ $\eta$

Cody, eşdeğerliği ile modifiye edersek ne olacağını sordu . Cevap parametriklik nedeniyle hala olumsuz. Aşağıdaki iki terimi göz önünde bulundurun $\eta$ : $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

\begin{array}{lcl} M & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [\forall α . α \to α] (Λ β . λ y : β . y) [α] x \\ N & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [α] x \end{array}

$\begin{array}{lcl} M & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f \;[\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha]\;(\Lambda \beta.\lambda y:\beta.\;y)\;[\alpha]\;x\\ N & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f\;[\alpha]\;x \end{array}$

Farklı normal, uzun formdur, ancak gözlemsel olarak eşdeğerdir. Aslında, bu türdeki tüm fonksiyonlar olduğundan eşdeğerdir $\beta$ $\eta$ , birim tipinin kodlanması ve dolayısıyla tipin tüm fonksiyonlarıdır $\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha$ çapta eşdeğer olmalıdır. $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

— Neel Krishnaswami
kaynak

2

İle Ok, aynı soruyu

-denklik :)

β, η

$\beta,\eta$

— Cody

11

Neel mükemmel doğru olana Başka bir olası cevap: orada olduğunu varsayalım olan bir combinator , yukarıdaki durum tutan öyle ki sistem F iyi yazdınız. Tipi geçerli: $E$ $E$

E : \forall α . α \to α \to b o o l

$E : \forall \alpha.\alpha\rightarrow \alpha\rightarrow {\bf bool}$

Böyle bir terimin mutlaka sabit olduğunu ifade eden ücretsiz bir teorem olduğu ortaya çıkıyor :

\forall T, t, u, t^{'}, u^{'} : T, E T t u = E T t^{'} u^{'}

$\forall T,\ t,u,t',u':T,\ E\ T\ t\ u = E\ T\ t'\ u'$

Özellikle , sürekli olarak doğru olan işlev veya sürekli olarak yanlış olan işlevdir ve muhtemelen bir "eşitlik karar vericisi" olamaz. $E$

— cody
kaynak