En az sabit nokta mantığını anlama

Bir makaleyi daha iyi anlamak için en az sabit nokta mantığını kısa bir şekilde anlamaya çalışıyorum. Sıkıştığım birkaç nokta var.

Eğer $G = (V,E)$ bir grafik ve

ikili ilişkide bir operatördür $P$. Neden en az sabit noktanın anlamıyorum$P^*$ nın-nin $P$ geçişli kapanışı $E$. Örnek, Sonlu Model Teorisi ve Uygulamalarından alınmıştır (s. 60).

Birinci dereceden mantığı en az sabit işaretçi operatörü ile genişletirken neden ilişki sembolünü anlamıyorum $S_i$formülde pozitif olması gerekir . Olumlu demek her oluşum$S_i$ formülde çift sayıda olumsuzlama sembolü bulunur.

Herkes en az sabit işaretçi mantığı ve sözdizimi ve anlambilimi sezgisel anlamak için okumak için iyi bir fikir var mı?

En az sabit nokta kavramı ile sorun yaşıyorsanız, daha genel düzen teorisinde bir arka plan elde etmek için biraz zaman geçirmenizi tavsiye ederim.

Davey ve Priestley, Kafeslere ve Düzene Giriş iyi bir giriş.

Geçişli kapanışın neden en az sabit nokta olduğunu görmek için, mantıksal formülü her seferinde bir adım uygulayarak kapağı boş bir kümeden oluşturduğunuzu hayal edin. En az sabit nokta, formülü kullanarak yeni kenar ekleyemediğinizde gelir.

Formülün pozitif olması şartı monotonik olmasını, yani her adımda büyümesini sağlar. Negatif bir alt formunuz varsa, bazı adımlarda kenar kümesinin azalacağı ve bunun LFP'ye yakınsama yerine sonlandırılmayan bir salınımla sonuçlanabileceği durumunuz olabilir.

Sonlu kümelerin güç kümesinden oluşan boole cebirini düşünün $S$, set içerme sırasına göre sıralanmıştır. Şimdi operatörü düşünün$P$ tarafından tanımlandı

Açıkça $P$ pozitif olmayan bir operatördür.

1. Sabit nokta olmadığını göster $\mu P$ öyle ki $P(\mu P) = \mu P$. Sonuç olarak,$\mu X.\;P(X)$ iyi tanımlanamaz.

2. Knaster-Tarksi teoremini kendiniz kanıtlayın. Yani, tam bir kafesiniz varsa$L$ve monoton bir işlev $f : L \to L$, daha sonra $f$tam bir kafes oluşturur. (Sonuç olarak,$f$ en az ve en büyük sabit noktaya sahiptir.) Bu kanıt çok kısa, ancak ilk gördüğünüzde biraz kafa kaşıyıcı ve tekdüzeliği $f$ argüman için kritik öneme sahiptir.

3. Serbest değişkenli bir ifade ile tanımlanan herhangi bir operatörün kendiniz için kanıtlayın $X$sadece pozitif olarak oluşan monotondur. Dolayısıyla, olumlu oluşum, tekdüzeliği uygulamak için yeterli olan sözdizimsel bir durumdur.

Sezgiyi gerçekten içselleştirmek için bu kanıtları kendiniz yapmak için bir yedek olmadığını düşünüyorum.

bu çok eski bir gönderi olduğundan, cevabı istediğiniz gibi bulmuş olabilirsiniz. Son birkaç aydır FO (LFP) okuduğumdan beri. İstediğiniz cevapları biraz anladım.

Pozitifliği karşılamak için ihtiyaç, formülün monoton bir operatörü yakalayıp yakalamadığının test edilmesinin hem sonlu hem de sonsuz modellerde kararsız olması gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Monoton bir operatörü yakalayan bir formülle ne demek istiyorum? Bir FO yazdığınızı varsayalım$[\sigma$] ücretsiz ikinci dereceden değişkenli formül demek $\phi(\vec{x},X)$, nerede $|\vec{x}|=ar(X)$, karşılık gelen bir operatör tanımlayabiliriz $f_\phi$ : $\mathcal{P}(A^{ar(X)}) \mapsto \mathcal{P}(A^{ar(x)})$ burada ar (X) ikinci dereceden değişkenin aiditesidir ve A, $\sigma$-Yapı $\mathbb{A}$ ve $\mathcal{P}(Z)$ Z setinin güç seti. Ve $f_\phi(Z) = \{\ \vec{a} \in A^{ar(X)}\ |\ \mathbb{A},\vec{a},Z \models \phi\ \}$. Bu operatör monoton ise, o zaman sonlu ve sonsuz yapıdaki sabit noktayı, yukarıdaki cevaplarda bahsedilen knaster tarski'nin sabit nokta teoreminden sonra kolayca yakalayabiliriz. Ancak, sorun, yukarıdaki gibi yazılan formülün bir monoton operatörü kodlayıp kodlamadığını test etmek değil, bu yüzden bir sonraki en iyi şeyi almamız gerekiyor. İkinci dereceden serbest değişkendeki pozitiflik, monotonluk gereksiniminin karşılanmasını sağlar, bu fenomeni kanıtlamak için standart bir yapısal indüksiyon. Soru, yeterli mi?

Buna hala okuduğum için henüz kesin bir cevabım yok. Bu cephedeki kağıtlara işaret edebilirim. En azından burada bahsettiğim fikirleri açıklayan, Monotone - Pozitif - Ajtai, Gurevich gazetesinden. Ayrıca, başka bir makaleden de bahsi geçen Gurevich ve Shelah'ın birinci derece mantığının Sabit nokta uzantıları , pozitif formüle uygulandığında sabit nokta operatörünün, keyfi monoton formüller üzerinde yapılan uygulama ile karşılaştırıldığında etkileyici gücünü kaybetmediğini belirtmektedir.