Fizik prensibi olarak NP-tam problemlerinin sürdürülemezliği?

Her zaman P ve NP sorusu için ya da aleyhine deneysel matematikten elde edilen sayısal kanıtların olmaması beni şaşırttı. Riemann Hipotezi'nin sayısal doğrulamadan bazı destekleyici kanıtları olsa da, P ve NP sorusu için benzer kanıtların farkında değilim.

Ayrıca, kararsız problemlerin (veya hesaplanamayan fonksiyonların) varlığının doğrudan fiziksel dünya sonuçlarının farkında değilim. Protein katlanması NP-tam bir sorundur, ancak biyolojik sistemlerde çok etkili bir şekilde gerçekleştiği görülmektedir. Scott Aaronson, NP Sertlik Varsayımını fizik prensibi olarak kullanmayı önerdi. Bu varsayımı gayri resmi olarak " NP-tam problemleri fiziksel dünyada zorlanamaz " olarak ifade eder.

NP Sertlik Varsayımını Varsaymak, Evrenimizin NP Sertlik Varsayımına saygı gösterip göstermediğine karar veren bilimsel bir deney tasarlamak neden zor?

Ayrıca, ya da karşı deneysel matematik herhangi bir bilinen sayısal kanıt var mı $P\ne NP$ ?

EDIT: İşte Scott Aaronson tarafından Fizik Kanunu Olarak Hesaplamalı Sürdürülebilirlik başlıklı güzel bir sunum

asimptotik bir ifade olduğu gerçeğinin otomatik bir “anlaşma kırıcı” olduğunu düşünmüyorum . Bilgimizle tutarlı ancak P'ye karşı NP'den daha güçlü somut varsayımlar yapılabilir, örneğin " Rastgele n değişken 10SAT formülü için tatmin edici bir ödev bulmak için en az 2 n / 10 adım gerekir" ("rastgele" ör. Achlioptas Coja-Oghlan'ın dikilmiş modeli , bu sadece bir örnektir - makul somut sayıların ne olduğunu bilmiyorum).$P\neq NP$$2^{n/10}$

Böyle bir varsayım, bunu çözmeye çalışacak herhangi bir doğal sistemin başarısız olacağını (örneğin, yerel bir minimada sıkışıp kalacağı), deneylerle doğrulayabileceğiniz bir şeyle ilgili kabul edilebilir bir tahminle sonuçlanabilir. Aslında, bu konuda uzman değilim ama bilgime göre, Joe Fitzsimons'un belirttiği gibi, bu tahminler Adyabatik hesaplama ile doğrulanmıştı. (Scott Aaronson da sabun köpüğü ile eğlenceli deneyler yaptı.)

Tabii ki insanların optimizasyon problemlerini, kriptoanaliz şifrelemelerini vb. Çözmeye çalıştıkları ve şimdiye kadar başarılı olamadıkları için için bazı "ampirik kanıtlar" görebilirsiniz .$P \neq NP$

Gerçek dünya sabit boyutlu bir nesnedir, bu nedenle büyük O gösterimlerinde büyük bir sabiti gizlenmiş NP tam problemlerini çözmek için polinom zamanlı gerçek dünya prosedürünü dışlamak mümkün değildir.

Her neyse, bu noktanın yanı sıra, varsayım, "bunu yapan hiçbir gerçek dünya prosedürü yoktur" biçiminin bir ifadesidir. Böyle bir ifadeyi çürütmek için nasıl bir deney tasarlanır? Varsayım "Eğer gerçek dünyada X yaparsak, Y olur" gibi bir şey olsaydı, bu X'i yaparak çürütülebilir. İstediğimiz ifade, bir şeyin var olmadığını iddia eder, bu yüzden bir deney göremiyorum karar vermek. Fizik yasalarının fiziksel bir sonucu olarak gösterilebilir, ancak bu P'ye karşı NP'den bile daha zordur, çünkü bir Turing makinesi fizik yasalarına uyar. TM'lerin polinom zamanında NP-tam problemlerini çözemediğini göstermekte başarısız olduğumuzdan, hiçbir fiziksel sürecin polinom zamanında NP-tam problemlerini çözemediğini göstermek tamamen umutsuz görünüyor.

Aslında P'nin fiziksel versiyonu NP'ye eşit değildir, yani hiçbir doğal fiziksel sistemin NP tam problemini çözememesi çok ilginçtir. Birkaç endişe var

1) Progrem, hem deneysel hem de teorik fiziğe pratik olarak "dik" görünür. Bu yüzden fizikte gerçekten (şimdiye kadar) faydalı bilgiler sağlamaz.

Fizikteki bazı kavrayışların bu fiziksel versiyonundan nasıl çıkarılabileceği bazı güzel argümanlar vardır, ancak bu argümanlar oldukça "yumuşaktır" ve boşlukları vardır. (Ve bu tür argümanların sorunlu olması muhtemeldir, çünkü NP eşit olmayan P'ye eşit olmayan çok zor matematiksel varsayımlara dayanmaktadır ve NP bizim anlamadığımız BQP'ye dahil edilmemektedir.)

(Benzer bir yorum "Kilise turlama tezi" için de geçerlidir.)

2) Fiziksel NP eşit P değil matematiksel NP eşit P değil daha geniş bir varsayım olsa da, doğada oluşan algoritmalar (ve hatta insan yapımı algoritmalar) çok teorik olarak mümkün olan tüm algoritmaların sınırlı sınıfı. Bu tür kısıtlamaları resmi olarak anlamak çok ilginç olacaktır, ancak her durumda soruda önerildiği gibi herhangi bir pratik "kanıt" sadece bu kısıtlı sınıf için geçerli olacaktır.

3) Bilimsel modellemede, hesaplama karmaşıklığı, önce doğal bir olguyu modellemek ve modele dayanarak neyin tahmin edilebileceğini görmek istediğimiz bir tür ikinci dereceden konuyu temsil eder (hesaplama karmaşıklığı teorisini bir kenara koyun). Modelleme aşamasında hesaplama karmaşıklığı konularına çok fazla ağırlık vermek verimli görünmemektedir. Birçok durumda, modelin başlangıçta hesaplanması zor değildir, ancak yine de doğal olarak ortaya çıkan problemler için uygulanabilir veya fenomeni anlamak için yararlı olabilir.

4) Boaz'a, asimptotik sorunun bir “anlaşma kırıcı” gerekmediğine katılıyorum. Hesaplamalı karmaşıklığın gerçek hayat modellemesi ile ilgisi söz konusu olduğunda yine de oldukça ciddi bir konudur.

Birazcık genellememe izin verirseniz ... Soruyu genişletelim ve diğer karmaşıklık-teorik sertlik varsayımlarını ve bunların bilimsel deneyler için sonuçlarını soralım. (Fizik üzerine odaklanacağım.) Son zamanlarda, uzamsal olarak ayrılmış olsa da (muhtemelen yerel olarak korelasyonlu olmayan) bir fiziksel sistem üzerinde bir ölçüm yapan iki ölçüm cihazı arasındaki izin verilen korelasyon kümesini anlamaya çalışmak için oldukça başarılı bir program vardı ( 1). Bu ve benzer düzenlemeler altında, kuantum mekaniği için izin verilen korelasyonları yeniden üreten sıkı sınırlar elde etmek için iletişim karmaşıklığının sertliği hakkındaki varsayımlar kullanılabilir .

Size bir lezzet vermek için, bu konuda daha önceki bir sonucu açıklayayım. Bir Popescu-Rohrlich kutusu (veya PR kutusu), hiçbir bilginin ışıktan daha hızlı ilerleyememesi ( sinyalleşme prensibi olarak adlandırılır) ilkesi ile tutarlı olan ölçüm cihazları arasında korelasyonlar üreten hayali bir cihazdır .

S. Popescu & D. Rohrlich, Aksiyom olarak Kuantum serbestliği, Bulundu. Phys. 24, 379-385 (1994).

Bunu, bazı etkilere sahip iletişim karmaşıklığının bir örneği olarak görebiliriz. İki gözlemcinin dolaylı olarak iletişim kurması gerektiği fikri, bir fizikçinin sinyal vermeyeceği bir kısıtlama varsayar. Bu fikri tersine çevirerek, sinyalsiz olarak kısıtlanan iki ölçüm cihazı arasında ne tür korelasyonlar mümkündür? Popescu & Rohrlich bu konuda çalışıyor. Bu izin verilen korelasyon setinin, kuantum mekaniğinin izin verdiğinden kesinlikle daha büyük olduğunu ve bunun da klasik fizik tarafından izin verilenlerden kesinlikle daha büyük olduğunu gösterdiler.

O zaman soru kendini gösterir, kuantum korelasyonları setini “doğru” korelasyonlar seti yapan, sinyal vermeyenlerin izin vermediği nedir?

Bu soruyu ele almak için, çıplak kemikleri, iletişim karmaşıklığının önemsiz olmadığı işlevler olduğunu varsayalım. Burada önemsiz olmayan sadece f (x, y) bir boolean fonksiyonunu hesaplamak için tek bir bitten (2) daha fazlasını gerektirir . Şaşırtıcı bir şekilde, bu çok zayıf karmaşıklık-teorik varsayım bile izin verilen korelasyonların alanını kısıtlamak için yeterlidir.

G. Brassard, H. Buhrman, N. Linden, AA Méthot, A. Tapp ve F. Unger, İletişim Karmaşıklığının Önemsiz Olduğu Dünyalarda Gayri Meşruiyet Sınırı, Phys. Rev. Lett. 96, 250401 (2006).

Doktora'da daha zayıf bir sonucun kanıtlanmış olduğuna dikkat edin. Wim van Barajı tezi. Ne Brassard ve ark. kanıtlamak ki, PR kutularına, hatta hatalı ve sadece doğru korelasyonu üreten kutulara erişime sahip olmak, kişinin iletişim karmaşıklığını tamamen önemsizleştirmesine olanak tanır. Bu dünyada, her iki değişkenli Boolean işlevi, yalnızca tek bir bit iletilerek ortak olarak hesaplanabilir. Bu oldukça saçma görünüyor, o yüzden tersine bakalım. Biz bir aksiyom olarak iletişim karmaşıklığı olmayan yüzeyselliğine alabilir, ve bu bize sağlayan türetmek bizim deneylerde bazı daha güçlü kuantum korelasyon gözlemlemek yok aslında.

İletişim karmaşıklığını kullanan bu program şaşırtıcı bir şekilde başarılı olmuştur, belki de hesaplama karmaşıklığına karşılık gelen programdan çok daha başarılıdır. Yukarıdaki kağıtlar buzdağının sadece görünen kısmı. Daha fazla okumaya başlamak için iyi bir yer bu inceleme:

H. Buhrman, R. Cleve, S. Massar ve R. de Wolf, Serbestlik ve iletişim karmaşıklığı, Rev. Mod. Phys. 82, 665-698 (2010).

veya alıntıladığım diğer iki makaleden ileri bir literatür taraması.

Bu aynı zamanda iletişim ortamının neden hesaplama ortamından çok analiz için daha uygun göründüğü hakkında ilginç bir soru ortaya çıkarmaktadır. Belki de bu, cstheory hakkında yayınlanan başka bir sorunun konusu olabilir.

(1) Örneğin, fiziksel sistemin iki birbirine dolanmış fotondan oluştuğu ve ölçümlerin, uzamsal olarak uzak iki konumda tek tek fotonlar üzerindeki polarizasyon ölçümleri olduğu, CHSH eşitsizliği (bir tür Bell eşitsizliği ) olarak bilinen bir şeyi ölçen deneyleri ele alalım .

(2) Bu tek bit, f (x, y) aslında hem x hem de y'ye bağlı olduğunda gereklidir, çünkü sıfır bit göndermek hiçbir sinyali ihlal etmeyecektir.

Ayrıca, ya da karşı deneysel matematik herhangi bir bilinen sayısal kanıt var mı P ≠ K P$P \neq NP$

$NP \subseteq P/poly$

Şimdi, SAT için uzunluk 10'a kadar minimum bir devre bulmak şu anda çok zor. Bununla birlikte, geometrik karmaşıklık teorisindeki bazı fikirler, daha etkili bir hesaplama ile benzer sonuçlar elde etmenizi sağlar (iki kat üslü yerine sadece üstel olduğunu düşünüyorum). Mulmuley'in varsayımlarından biri, aslında bu aramanın polinom zamanında yapılabileceğidir, ancak buna yakın bir şeyi kanıtlamaktan çok uzun bir yoldayız.

"Polinom zamanı" ve "üstel zaman" tanımları, girdi boyutu sonsuza büyüdükçe çalışma süresinin sınırlayıcı davranışını tanımlar. Öte yandan, herhangi bir fiziksel deney mutlaka sadece sınırlı büyüklükteki girdileri dikkate alır. Dolayısıyla, belirli bir algoritmanın polinom zamanı, üstel zaman veya başka bir şeyde çalışıp çalışmadığını deneysel olarak belirlemenin kesinlikle bir yolu yoktur.

Veya başka bir deyişle: Robin'in söyledikleri.

Robin'e tamamen katıldığımı söyleyerek başlayayım. Protein katlanması ile ilgili olarak, küçük bir sorun vardır. Tüm bu sistemlerde olduğu gibi, protein katlanması, yerel ihmalde sıkışabilir, bu da ihmal ediyor gibi görünüyorsunuz. Daha genel sorun, bazı Hamilton'luların temel durumunu bulmaktır. Aslında, sadece spin (yani kubit) düşünsek bile, bu problem QMA için tamamlanmıştır.

Bununla birlikte, doğal Hamiltonlular QMA tamlığını kanıtlamak için kullanılan (doğal etkileşimleri yansıtma eğiliminde olmayan) bazı yapaylardan biraz daha yumuşaktır, ancak basit sistemlerde doğal iki vücut etkileşimlerini kısıtlasak bile sonuç hala bir NP'dir. Tamamlanmış problem. Gerçekten de bu, adyabatik kuantum hesaplamayı kullanarak NP problemlerini ele almaya yönelik bir yaklaşımın temelini oluşturur. Ne yazık ki, enerji düzeyi yapısı ile ilgili oldukça teknik bir konu nedeniyle, bu yaklaşımın NP-komple problemleri için işe yaramayacağı anlaşılmaktadır. Ancak bu, NP içinde doğası gereği etkin bir şekilde çözülemeyen mevcut problemlerin ilginç bir sonucuna yol açmaktadır (yani fiziksel süreçleri kastediyorum). Bu, verimli bir şekilde soğuyamayan sistemler olduğu anlamına gelir. Demek ki,

Gerçek dünya durumlarının hesaplamalı bir perspektiften incelenmesi, sürekli ayrık "zıplama" nedeniyle oldukça zordur. Gerçek dünyadaki tüm olaylar (sözde) sürekli zamanda yürütülürken, genellikle kullandığımız modeller ayrık zamanda uygulanır. Bu nedenle, bir adımın ne kadar küçük veya büyük olması gerektiğini, sorunun boyutu ne olması gerektiğini tanımlamak çok zordur.

Konuyla ilgili bir Aaronson'un makalesine bir özet yazdım, ancak İngilizce değil. Orijinal kağıda bakın .

Şahsen, hesaplamaya modellenen gerçek bir dünya probleminin başka bir örneğini duydum. Kağıt, kuşların akınına dayalı kontrol sistemleri modelleri ile ilgilidir. Kuşlar için gerçek hayatta kısa bir süre almasına rağmen, bir hesaplama problemi olarak analiz edildiğinde zorlanamaz ("2'li bir kule"). Ayrıntılar için Bernard Chazelle'nin makalesine bakın.

[Düzenle: Chazelle gazetesi hakkındaki kısmı netleştirdi. Kesin bilgi verdiğiniz için teşekkür ederiz.]

NP-çekilemesinin bir örneği olarak n-beden problemine hala oy veriyorum. Sayısal çözümlere atıfta bulunan beyler, sayısal çözümün, prensipte analitik bir çözümle aynı şekilde bir çözüm değil, özyinelemeli bir model olduğunu unuturlar. Qui Dong Wang'ın analitik çözümü inatçı değil. Katlanabilen proteinler ve ikiden fazla cisimdeki sistemlerde yörüngede kalabilen gezegenler, P-NP sorununun ele aldığı türden algoritmik çözümler değil, fiziksel sistemlerdir.

Ayrıca chazisop'un sürekli çözümlerle ilgili zorluklarını takdir etmeliyim. Zaman veya mekan sürekli ise, potansiyel durum uzayları sayılamaz hale gelir (aleph bir).

Verimli bir şekilde çözemiyoruz $n$- sorun insan, ama bu beyinli kayalar gezegenleri iyi yönetiyor gibi görünüyor.