K-Renk azaltma için Doğal CLIQUE

Her ikisi de NP-Complete olduğu için CLIQUE'den k-Color'a net bir düşüş var. Aslında, birini CLIQUE'dan 3-SAT'ye, 3-SAT'dan k-Color'a bir azalma ile azaltarak oluşturabilirim. Merak ettiğim şey, bu sorunlar arasında makul bir doğrudan azalma olup olmadığı. Diyelim ki SAT gibi bir ara dil tanımlamaya gerek kalmadan bir arkadaşıma oldukça kısaca açıklayabileceğim bir indirim.

Aradığım şeyin bir örneği olarak, işte ters yönde doğrudan bir azalma: ve biraz ile verilen G (renk sayısı), köşeleriyle (köşe başına bir renk) bir G 'grafiği yapın . Noktalar , köşe tekabül ve renk sırasıyla bitişik olan, ancak ve ancak ve ( veya ). Bir de -clique de tepe noktası başına sadece bir tepe noktasını sahip ve karşılık gelen renkleri uygun olan arasında -Renklendirmen k k n v ′ u ′ v , u c , d v ≠ u c ≠ d v u ∉ G n G ′ G k $n$$k$$kn$$v'$$u'$$v, u$$c, d$$v \neq u$$c \neq d$$vu \not \in G$$n$$G'$$G$$k$$G$. Benzer bir şekilde, uygun herhangi bir $k$ ve -Renklendirme $G$ karşılık gelen bir klik sahip $G'$ .

Düzenleme : Kısa bir motivasyon eklemek için, Karp'ın orijinal 21 probleminin , CLIQUE ve Chromatic Number'ın büyük alt ağaçların köklerini oluşturduğu bir azaltma ağacıyla NP-Complete olduğu kanıtlanmıştır. CLIQUE alt ağacında ve Kromatik Sayı alt ağacında problemler arasında bazı doğal indirimler var, ancak birçoğu istediğim kadar bulmak zor. Bu ağacın yapısının diğer problemlerde altta yatan bir yapı gösterip göstermediğini ya da tamamen indirgeme durumunun bir sonucu olup olmadığını araştırmaya çalışıyorum, çünkü bunlar, iki sorun arasında indirgeme arayışı için daha az motivasyon var. aynı karmaşıklık sınıfında olduğu bilinmektedir. Elbette siparişin bir etkisi oldu ve ağacın bölümleri yeniden düzenlenebilir, ancak keyfi olarak yeniden düzenlenebilir mi?

Düzenleme 2 : Doğrudan bir azaltma aramaya devam ediyorum, ancak işte aldığım en yakınının bir taslağı (geçerli bir azaltma olmalı, ancak CIRCUIT SAT açık bir aracı olarak görüldü; ilk paragrafta belirtildiği gibi iki indirim yapılması).

Verilen , bunu biliyoruz olabilir -colored ile köşe tüm renkli iff Gerçek bir sahiptir -clique. in orijinal köşelerini ve sonra ek köşelerini ekleriz : , , . anahtar True renklendirilebilmesidir ve eğer sadece köşeleri arasında True en az köşeleri varsa. Böylece her Doğru olabilir. Sonra,G , k ¯ G N - k + 1 k G k G v 1 , ... , V n ¯ G Cı i j 1 ≤ i ≤ n 0 ≤ j ≤ k Cı i j { v 1 , ... , v ı } j Cı ben 0 C ben $G, k$$\overline{G}$$n-k+1$$k$$G$$k$$G$ $v_1, \ldots, v_n$$\overline G$$C_{ij}$$1 \le i \le n$$0 \le j \le k$$C_{ij}$$\{v_1,\ldots, v_i\}$$j$$C_{i0}$$C_{ij}$J> 0 için , (i-1) j} \ vee$j > 0$ rengini alır. $C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$ burada tüm gerçek olmayan renkler yanlış olarak kabul edilir. Bir vardır $k$ olarak -clique $G$ iff $C_{nk}$ doğru renkli olabilir o renklendirici zorla bu yüzden, yeni grafik bir oldu boyanabilir IFF olduğu, $k$ orijinal grafikte -clique.

İlişkileri uygulamak için AND ve OR aygıtları, CIRCUIT SAT'dan 3-COLOR'a düşürmeye benzer, ancak burada grafiğimize bir K_ {n-k + 1} ekleyin $K_{n-k+1}$, T, F ve Ground köşelerini seçtikten sonra $v_i$ s dışındaki her şeyi diğerlerine bağla ; bu, $C_{ij}$ s ve diğer aygıtların yalnızca 3 renk aldığından emin olur .

Her neyse, bu indirimin “ kısmı doğrudan hissediyor, ancak AND / OR geçitlerinin kullanımı çok daha az doğrudan. Sorun devam ediyor, daha zarif bir azalma var mı?$\overline G$

Düzenleme 3 : Bu azalmanın neden bu kadar zor olacağı konusunda birkaç yorum yapıldı. CLIQUE ve k-Color gerçekten de oldukça farklı problemler. Ancak, bir indirgeme olmadan bile, indirgemenin bir yönde zor olmasının, diğerinde de mümkün olmasının nedenini açıklayan bir cevap çok yararlı olacak ve soruna çok fazla katkı sağlayacaktır.

Bir grafik Verilen G ve bir sayı k sen olmadığını bilmek istiyorum, öyle ki, G, bir içeriyor k köşe noktalarının sayısını, -clique izin n olmak G . Başka bir grafik oluşturmak H , öyle ki, H olduğu , n , ancak ve ancak, eğer -colorable G bir sahiptir k -clique, aşağıdaki gibi:$G$$k$$G$$k$$G$$H$$H$$n$$G$$k$

Her bir köşe (1) v de G , bir hale N köşelerin -clique ( v , i ) içinde , H , i arasında değişmektedir , 1 ile n .$v$$G$$n$$(v,i)$$H$$i$$1$$n$

(2) bir ek tepe ekleyin x için H .$x$$H$

(3) Her bir üçlü için { x , y , z } köşe noktalarının H , Y = ( V , I ) ve z = ( U , j ) , deney aşağıdaki koşullar geçerli olup olmadığı: ya u ≠ h ve i = j veya u ve v , G cinsinden en çok ( i , j ) ≤ k ile bitişik olmayan köşelerdir.$\{x,y,z\}$$H$$y=(v,i)$$z=(u,j)$$u\ne v$$i=j$$u$$v$$G$$\max(i,j)\le k$. Bu iki şeyin biri doğruysa, başka eklemek n için -clique H . Bu klik içinde, üç köşe x ′ , y ′ ve z ′ seçin . İletişim x hariç klik her tepe için y ' ve z ' ; bağlantı y hariç klik her tepe için , x ' ve z ' ; ve bağlantı z hariç klik her tepe için , x ' ve y ' .$n$$H$$x'$$y'$$z'$$x$$y'$$z'$$y$$x'$$z'$$z$$x'$$y'$

(3) adımında eklenen araçlar , x , y ve z köşelerinin üçlü değerinin , H'nin geçerli renklendirilmesinde hepsine aynı renk verilmesini önler . İçinde klik G bir boyama elde edilebilir H köşeler grubu olarak ( v , i ) ile aynı renk sınıfta x ve var i ≤ k .$x$$y$$z$$H$$G$$H$$(v,i)$$x$$i\le k$

?? renklendirme ve klik bulgunun on yıllardır grafik teorisi (muhtemelen 60'larda bile?) üzerinden bir ara madde olarak SAT yoluyla bile (1971'de Cook kanıtından sonra tipik hale gelen) bile sıkı sıkıya bağlandığı bilinmektedir. Aşağıdaki temel özelliğe dayalı algoritmalar olduğuna inanıyorum :

G, k boyutunda bir klik içeriyorsa, o klibi renklendirmek için en az k renk gerekir; Başka bir deyişle, kromatik sayı en azından klik sayısıdır: $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

kesin referanslardan emin değilsiniz fakat [1,2] başlamak için iyi yerler, kesin bir algoritma veya ref en azından bu kitaplarda gösteriliyor.

[1] Cliques, renklendirme ve tatmin edilebilirlik, 2. DIMACS mücadelesi

[2] Dimacs vol 26: Cliques, renklendirme ve tatmin edici