Sınırlı derinlik olasılık dağılımları

Sınırlı derinlik hesaplaması ile ilgili iki soru:

1) n bit ile başladığınızı ve i bitiyle başlamak için bağımsız olarak bazı p (i) olasılıkla 0 veya 1 olabileceğini varsayın. (Sorunu basitleştirirse, tüm p (i) 'lerin 0,1 veya 1/2 olduğunu varsayabiliriz.~~hatta hepsi 1/2.~~)

Şimdi sınırlı sayıda hesaplama turu yapıyorsunuz. Her turda, ayrık bit kümelerine tersinir klasik kapılar uygularsınız. (En sevdiğiniz evrensel klasik tersinir kapılar setini düzeltin.)

Sonunda n bit üzerindeki dizelerde olasılık dağılımı elde edersiniz. Bu tür dağılımların kısıtlanmasına ilişkin sonuçlar var mı?

Hastad anahtarlama lemme, Boppana sonucu toplam etki küçük veya LMN teoremi benzer bir şey arıyorum.

2) 1) ile aynı soru ama sınırlı derinlik kuantum devreleri ile.

— Gil Kalai
kaynak

Bir şey eksik, ama tüm soru 1 değil edilebilir

için eşit

önemsiz? Bijeksiyonlar altında değişmez olan

üzerinde eşit dağılım ile başlarsınız .

p (i)

$p(i)$

1 / 2

$1/2$

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$

— Klaus Draeger

Aşağıdakiler probleminizde faydalı bir dönüşüm mü? Girişinizi (bir vektör Transform

a),

uzunluğu ikili dizeleri üzerinde bir olasılık dağılımını temsil eden uzunlukta vektör

. Şimdi herhangi bir hesaplama,

uzunluğundaki çıktı dizileri üzerinde bir olasılık dağılımı üretmek üzere sola doğru hareket eden (diyelim) kare stokastik bir matristir . WLOG tüm girişlerin ikili olduğunu varsayabiliriz. Tek soru, temel matrislerimizin (geri dönüşümlü kapılar) sınırlı sayıda matris çarpımı ile üretilebilen stokastik ikili matrislerin sınıfının ne olduğudur.

p_{0}, p_{1}, \dots

$p_0,p_1,\dots$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

— usul

Üzgünüm, daha kesin olmalıyım. Burada temel matris ile, tersine çevrilebilir bir kapı değil, paralel olarak hareket eden bazı tersinir kapılar kümesi anlamına geliyor ve bir dizi kapı verildiğinde bu matrislerin nasıl görüneceği hemen görünmüyor.

— usul

Her iki cevap da ödülü hak ediyor, ne yapabileceğimi göreceğim

— Gil Kalai

bitlerin "ayrık kümeleri" ile ne demek istiyorsun?

— vzn

Yanıtlar:

Emanuele Viola ve ark. Tarafından örnekleme dağılımlarının karmaşıklığıyla ilgili nispeten yeni makaleler bulunmaktadır. Sınırlı derinlik karar ağaçları veya sınırlı derinlik devreleri gibi sınırlı hesaplama modellerine odaklanırlar.

Ne yazık ki tersinir kapılar hakkında konuşmuyorlar. Aksine, çıkış uzunluğunda genellikle kayıp olur. Bununla birlikte, bu makaleler iyi bir başlangıç noktası olabilir.

Sınırlı Derinlik Devreleri İyi Kodları Örnekleyemez

Dağıtımların karmaşıklığı

— MassimoLauria
kaynak

Çok teşekkürler Massimo! bu çok alakalı görünüyor.

— Gil Kalai

(Ayrıca geri dönüşümlü olmayan dava ile ilgileniyorum.)

— Gil Kalai

Kısa cevap.

Kuantum devreleri için, en azından bir tane var olmayan -limitation sonucu: keyfi sınırlanmış derinlemesine kuantum devreleri için bile, sonucu olasılığının küçük çarpımsal hata ile simüle olması olası değildir polinom -depth klasik devreleri.

Bu, elbette, devrelerinin gerçekte hangi kısıtlamalara sahip olacağını söylemez ; özellikle olasılık dağılımları yerine sınırlı hata ile ilgili karar sorunlarıyla ilgileniyorsanız. Bununla birlikte, Håstad'ın Anahtarlama Lemması'nda olduğu gibi karar ağaçları açısından bir analizin , bu devrelerin klasik simülasyonu için olası olmadığı anlamına gelir. $\mathsf{QNC^0}$

ayrıntılar

Fenner ve ark. Tarafından verilen polilog derinlik kuantum devrelerinin tanımını düşünebiliriz . (2005) :

Tanım. kuantum devre ailesine sınıfıdır polinom vardır olan her biri için içerir $\mathsf{QNC^k}$ $\{C_n\}_{n\geqslant0}$ $p$ $C_n$ $n$ giriş qubits ve en taze ancillas, kullanım sadece tek qubit kapıları ve kontrollü-olmayan kapılar ve derinliği . $p(n)$ $O(\log^k(n))$

Tek-kubit kapıları sabit bir sonlu kümeden olmalıdır, ancak bu sabit bir üniteyi sabit sayıda kubit üzerinde herhangi bir sabit hassasiyete benzetmek için yeterlidir. Ayrıca, devre ailesinin çıkışını temsil etmek için devrenin o zamanın sonundaki kübitlerin alt kümelerinin kullanılmasına izin veririz (örneğin, boole fonksiyonları için tek bir kübit).

Bremner, Jozsa ve Sheppard (2010) , Terhal ve DiVincenzo'ya (2004) bağlı kapı-ışınlanma tekniğinin bir uyarlaması kullanılarak , bir devresindeki bazı kubitlerin seçim sonrası olduğunu not eder (bkz. Bölüm 4). mümkün sorunları karar vermek için çok kolay $\mathsf{QNC^0}$ $\mathsf{PostBQP = PP}$ $\mathsf{QNC^0}$ $\sqrt 2$ $\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$

— Niel de Beaudrap
kaynak

Sevgili Niel, Çok ilginç! Teşekkürler! Özellikle dağıtımlarla ilgileniyorum. Neden "Bu elbette size söylemiyor ..." diye açıklayabilir misiniz?

— Gil Kalai

Sabit faktör yetersizliği yakınlığı sonucu, PostQNC⁰ = PostBQP = PP yoluyla elde edilir . Postselection burada uzun bir ışınlanma dizisinin "başarısını zorlamak", son derece düşük fakat sıfır olmayan bir olasılık durumunda koşullu kuantum-sabit-derinlik dağılımı yoluyla kuantum-poli-derinlik dağılımını simüle etmek için kullanılır. Herhangi bir sabit yaklaştırma faktörü, bir poli-derinlik devresi için de geçerli olacaktır. Ama bu, size değil örneğin bir üst herhangi bir alt uzay mutlak (ve asimptotik) açısından, konsantre edilir (veya yansıtılıyor olabilir) ne kadar genlik, sınır.

— Niel de Beaudrap