Boole Devreleri için alt sınırlar neden aritmetik devreler alt sınırlar anlamına gelmez

Benim sorum neden derinlik 3 için alt sınırlar Kapıları "ve" ve "veya" xor "ile Boole devreleri üzerinde aritmetik devreler için aynı alt sınırları ima etmiyor $\mathbb{Z}$ ?

Aşağıdaki argümanla yanlış olan şey: $C$ , aritmetik bir devre hesaplama determinantı olsun, tüm mod 2 değişkenlerini alarak Boole devre hesaplama determinantını alacağız.

cc.complexity-theory circuit-complexity arithmetic-circuits

— birisi
kaynak

üzerindeki aritmetik devreler $\mathbb{Z}$ için argümanınız doğrudur. Aynı tartışma boyunca aritmetik birimi için çalışır $\mathbb{Q}$ bir fraksiyonların kullanmayan $a/b$ burada $b$ ve eşitlenir.

Bununla birlikte, diğer halkalar üzerindeki aritmetik devreler hakkında konuşursanız, argüman artık çalışmaz, örneğin: üzerindeki genel aritmetik devreler (yani yukarıdaki kısıtlama olmadan), , cebirsel sayı alanları, veya ile sonlu alanlar . $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{F}_{q}$ $q \neq 2$

(Bu aslında cebirsel geometride karakteristik sıfırdan ziyade genellikle "karışık karakteristik" olarak kabul edilmesi ile aynı nedendir .) $\mathbb{Z}$

Ancak, derinlik 3 {AND, OR, NOT} olan devreler için Boole alt sınırları üzerinden aritmetik devreler için alt sınırlarla daha az ilişkilidir . (Evet, {AND, XOR} tam bir temeldir, ancak {AND, OR, NOT} üzerinde tipik olarak 3 derinlik devresi, KAPILARI serbest olarak kabul edersiniz, XOR ile DEĞİL uygularken, daha sonra gerçekten saydığınız bir XOR kapısı kullanırsınız. . Benzer şekilde, her ne kadar , ne zaman bu tek VEYA kapısı ile vE uygulamak ve XOR, sen derinlikte 3. biraz gadget olsun) $\mathbb{Z}$ $a \vee b = \neg (\neg a \wedge \neg b)$

Genel ifade şudur: bir halkasında katsayıları olan bir polinom olsun ve bir halka homomorfizması olduğunu varsayalım . Uygulayarak her katsayısına içeri katsayılı bir polinom olsun hangi Ben olacak anlamında olabildikleri, . Daha sonra aritmetik devreler tarafından hesaplanması için bir alt sınır , aritmetik devreler tarafından hesaplanması için aynı alt sınır anlamına gelir . $f$ $R$ $\varphi\colon R \to S$ $\varphi$ $f$ $S$ $f_S$ $f_S$ $S$ $f$ $R$

— Joshua Grochow
kaynak

önemi nedir?

b

$b$

— Suresh Venkat

Yani alırken şeyler 2 mod o

ters mod 2 sahiptir, yani

olur

b

$b$

a / b \in Q

$a/b \in \mathbb{Q}$

ve sonuncusu iyi tanımlanmıştır.

a b^{- 1} (\mod 2)

$ab^{-1} \pmod{2}$

— Joshua Grochow

Bu, von-bölünme (yani ikiye bölmeniz gerekmediği) gibi bir tür teoremi kanıtlamanın, C'ye göre daha düşük sınırları devre dışı bırakacağı anlamına mı geliyor?

— Klim

@Klim: Hayır. Sorun, C üzerinden bir devrenin hala "mod 2" yi alamadığınız mantıksız (hatta gerçek olmayan) sabitleri kullanabilmesidir.

— Joshua Grochow