Gürültülü Eşlik (LWE) alt sınırları / sertlik sonuçları

Bazı bilgiler:

Hatalarla Öğrenme (LWE) sorunu için "daha az bilinen" düşük sınırlar (veya sertlik sonuçları) ve halkalar üzerinde Hatalarla Öğrenme gibi genellemeleri bulmakla ilgileniyorum. Spesifik tanımlar, vb. İçin, Regev'in güzel bir araştırması: http://www.cims.nyu.edu/~regev/papers/lwesurvey.pdf

(R) LWE tarzı varsayımın standart tipi (belki de kuantum) (belki de ideal) kafeslerdeki En Kısa Vektör Problemine indirgeme yoluyladır. SVP'nin olağan formülasyonunun NP-sert olduğu bilinmektedir ve küçük polinom faktörlerine yaklaşmak zor olduğuna inanılmaktadır. (İlgili: CVP'yi yaklaşık / neredeyse polinom / faktörlere yakınlaştırmak zor: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1005180.1005182 ) Ayrıca şunu da duydum (kuantum algoritmaları açısından) küçük kafes polinom yaklaşım faktörlerine (SVP gibi) belirli kafes problemlerine yaklaşmak, bunun için hiçbir zaman açık, resmi bir kaynak görmedim, ancak Abelian olmayan gizli alt grup problemiyle (bunun kendi nedenlerinden dolayı zor olduğuna inanılmaktadır) ilişkilidir.

Bununla birlikte, Öğrenme Teorisinden kaynaklanan Gürültülü Eşlik sorununun bir sonucu olarak ortaya çıkan sertlik sonuçlarıyla (her türden) daha fazla ilgileniyorum. Bunlar karmaşıklık sınıfı sertlik sonuçları, somut algoritmik alt sınırlar, örnek karmaşıklık sınırları veya hatta kanıt boyutu alt sınırlar (örneğin Çözünürlük) olabilir. LWE'nin (Googling'den) kodlama teorisi ve PAC gibi sertlik azaltmalarında kullanılmış gibi görünen Gürültülü Eşlik / Gürültü ile Öğrenme Paritesi (LPN) sorununun genelleştirilmesi olarak görülebileceği bilinmektedir (belki de açıktır). öğrenme.

Kendi etrafıma baktığımda, LPN probleminde sadece (hafif derecede üstel) ÜST BOUNDS buldum, örneğin http://www.di.ens.fr/~lyubash/papers/parityproblem.pdf

Soru:

LPN'nin öğrenme topluluğunda İNANILDI olduğunu biliyorum. Sorum şu: Neden?

Herkes gerçekten çok denedi, ama henüz kimse iyi bir algoritma bulamadı mı? Yukarıdaki italik çeşitliliğin bilinen sınırları (ya da dışarıda bıraktığım diğerleri) var mı?

Cevap çok açıksa, bilinenlerin ve / veya anketlere / ders notlarına yapılan atıfların kısa bir özeti harika olurdu.

Eğer çok şey bilinmiyorsa, daha fazla "en son teknoloji" olan kağıtlar o kadar iyidir. :) (Önceden teşekkürler!)

LPN probleminin gerçekten zor olduğuna inanılıyor, ancak zor olduğuna inandığımız çoğu sorun gibi, bunun ana nedeni birçok akıllı insanın etkili bir algoritma bulmaya çalışması ve başarısız olması.

LPN'nin sertliği için en iyi "kanıt", eşlik sorununun yüksek istatistiksel sorgu boyutundan gelir. İstatistiksel sorgular, gauss yok etme (gürültü verildiğinde başarısız olan), karma ve bu ikisine benzer teknikler hariç, en bilinen öğrenme algoritmalarını yakalar. İstatistiksel olmayan sorgu algoritmaları tasarlamak zordur ve bu ana darboğazdır. LPN'nin sertliğinin diğer kanıtları, diğer zor problemlerle olan ilişkisidir (belirttiğiniz gibi LWE, SVP gibi).

SQ-sertlik için, burada bağlantı Kearns'ün ('98) kağıt.

Bu sorunun üst sınırlarında ilerleme için birkaç sonuç vardır:

• $2^N$$2^{n / \log n}$
• $O(2^{n / \log\log n})$$O(n^{1 + \epsilon})$
• $k$$\approx O(n^{0.5 k})$$O(n^k)$$O(n^k)$$\eta$$1/2$
• $\approx O(n^{0.8 k})$