Alt-Temel Tekrarlamalı Fonksiyonlar için karmaşıklık sonuçları?

Chris Pressey'in temel özyinelemeli işlevler hakkındaki ilginç sorusuyla ilgilendiğimde , daha fazlasını araştırıyordum ve bu soruya web'de bir cevap bulamadım.

İlköğretim özyinelemeli fonksiyonlar üstel hiyerarşiye güzel karşılık, $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$ .

Düşük temel fonksiyonlar tarafından karar verilebilen karar problemlerinin (terim?) EXP'de ve aslında DTIME'de yer alması gerektiği açıktır. $(2^{O(n)})$ ; bu işlevler, giriş uzunluklarında doğrusal olan çıktı dizeleriyle de sınırlıdır [1].

Ancak öte yandan, belirgin bir alt sınır görmüyorum; ilk bakışta LOWER-ELEMENTARY'ın kesinlikle NP içerebileceği veya belki P'de bazı problemler içeremeyeceği veya büyük olasılıkla henüz hayal etmediğim bir olasılık olduğu düşünülebilir. LOWER-ELEMENTARY = NP olsaydı epeyce havalı olurdu ama sanırım bunu sormak için çok fazla.

Sorularım:

Benim anlayışım şu ana kadar doğru mu?
Alt temel özyinelemeli işlevleri sınırlayan karmaşıklık sınıfları hakkında ne biliniyor?
(Bonus) Özyinelemeli işlevler üzerinde daha fazla kısıtlama yaparken güzel bir karmaşıklık sınıfı karakterizasyonumuz var mı? Özellikle $\log(x)$ - Bence polinom zamanında koşmak ve doğrusal çıktı üretmek sanırım sınırlı özetlemeler; veya polinom zamanda çalıştığını ve en çok uzunluk çıktısı ürettiğini düşündüğüm sabit sınırlı özetlemeler $n + O(1)$ .

[1]: Düşük temel fonksiyonların, yapısal indüksiyonla bu kısıtlamalara tabi olduğunu (fonksiyonların $h,g_1,\dots,g_m$ karmaşıklığa sahip olmak $2^{O(n)}$ ve bitlenim çıktıları $O(n)$ uzunluk girişinde $n$ . Ne zaman $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ , izin vermek $n := \log x$ , her biri $g$ uzunluk çıktısı var $O(n)$ , yani $h$ sahip $O(n)$ -uzunluk girişi (ve dolayısıyla $O(n)$ uzunluk çıktısı); hepsini hesaplamanın karmaşıklığı $g$ s $m2^{O(n)}$ ve $h$ dır-dir $2^{O(n)}$ , yani $f$ karmaşıklığı var $2^{O(n)}$ ve uzunluk çıkışı $O(n)$ iddia edildiği gibi.

Ne zaman $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ , $g$ uzunluk çıkışları var $O(n)$ , yani çıktıların toplamının değeri $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ , yani toplamlarının uzunluğu $O(n)$ . Bu değerleri toplamanın karmaşıklığı, $2^n$ (toplam sayısı) kez $O(n)$ (her bir eklemenin karmaşıklığı) $2^{O(n)}$ ve çıktıları hesaplamanın karmaşıklığı $2^{n}$ (hesaplama sayısı) kez $2^{O(n)}$ (her birinin karmaşıklığı), $2^{O(n)}$ . Yani $f$ karmaşıklığı var $2^{O(n)}$ ve uzunluk çıkışı $O(n)$ iddia edildiği gibi.

— usul
kaynak

Bağladığınız Wikipedia makalesi, düşük temel fonksiyonların polinom büyümesine sahip olduğunu belirtir (ancak referans vermez.) Bir P-tamamlama probleminin temel fonksiyonlarla çözülebileceğini veya çözülemeyeceğini göstermek, onu daha fazla sabitlemek için iyi bir adım olacaktır. Bir Turing makinesini n adım için simüle etmek imkansız görünmüyor - belki de her durum geçişine karşılık gelen başka bir sınırlı toplamın adım sayısına karşılık gelen sınırlı bir toplam?

— Chris Pressey

@Chris - Tahminimce "polinom büyümesi", çıktıdaki bitlerin sayısının, girdi içindeki bitlerin sayısından daha fazla doğrusal olmadığını ifade ediyordu. Ben simülasyon çok makul gibi görünüyor, ve polinom zamanında yapılabilir gibi görünüyor (ama bunu doğrulamak için bazı ayrıntılar alabilir!).

— usul

Maalesef, ilk bölüm net olmayabilir, ancak o zaman değer girişinde

x

$x$ çıkışın en fazla polinomda değeri vardır

x

$x$ .

— usul

3. soru ile ilgili olarak: ile varyantta tanımlanabilir fonksiyonlar

\log (x)

$\log(x)$ sınırlı toplamın tamamı karmaşıklık sınıfı üniforması içindedir

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$ . Sabit sınırlı toplama ile üniforma alt sınıfı elde edersiniz

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$ .

— Jan Johannsen

@Xoff Her şeyin özetinde olduğuna inanıyorum:

1

$1$ için

x

$x$ , nerede (girişinde

n

$n$ bit)

x

$x$ boyuta sahip olabilir

2^{n}

$2^n$ , yani toplamımız

2^{n}

$2^n$ her toplamın büyüklüğünün katları.

— usul

3. soru ile ilgili: Varyantta tanımlanabilir fonksiyonlar $\log(x)$ sınırlı toplamın tamamı karmaşıklık sınıfı üniforması içindedir $\mathsf{TC}^0$ . Bu Chandra, Stockmeyer ve Vishkin "Sabit derinlik azaltılabilirliği", SIAM J. Comput. 13 (1984) gösteren toplamı bu $n$ Sayıları $n$ bitlerin her biri, çoğunluk kapılarına sahip olan poinom boyutlu sabit derinlik devreleri ile hesaplanabilir.

Sabit sınırlı toplama ile üniforma alt sınıfı elde edersiniz $\mathsf{AC}^0$ . Sabit sınırlı toplama ekleme ve bileşime indirgenebilir ve ekleme taşıma-ileri okuma yöntemi kullanılarak sabit derinlikli boolean devreleri ile hesaplanabilir.

— Jan Johannsen
kaynak

"Alt temel fonksiyonlar EXP'de " doğrudur. Aslında DPSPACE ( n ) 'de; örneğin yapısal indüksiyondan görülebilir.
Bu notlar burada gösterilir [1] Bu düşük seviyede Boole Satisfiability SAT yalan E ₀ sınırlı yineleme yerine sınırlı toplamı ile Grzegorczyk Hiyerarşi.

[1] Cristian Grozea: NP Grzegorczyck (sic!) Hiyerarşisinin En Zayıf Seviyesinde Hesaplanabilir. Otomata, Diller ve Kombinatorik Dergisi 9 (2/3) : 269-279 (2004).

Temel fikir, ikili uzunluktaki verilen formülü kodlamaktır n bir tamsayı , N kabaca üstel değeri n ; ve daha sonra bahsedilen N ( n yerine ) ile sınırlanan nicelik olarak tatmin edici bir ödevin varlığını ifade eder .

Bu yöntem üzerinde taşıyacaktır görünüyor E ₀ ile Aşağı İlköğretim
(ve QBF için SAT genelleme yapabilmek _k keyfi ancak sabit için k ).

O anlamına gelmez E ₀ içermesini NP (hatta P polytime hesaplamaları bırakmak bilinmektedir çünkü olsa da, bu konuda) E ₂ .

— Martin Ziegler
kaynak