Tahmin mantığı için neden resmi anlambilime ihtiyacımız var?

Bu sorunun çözüldüğünü düşünün. Hepsi konuyu anlamada katkıda bulundukları için en iyi cevabı almayacağım.

Öngörü mantığının anlambilgisini resmen tanımlayarak ne gibi faydalarımız olduğuna emin değilim. Ancak resmi bir ispat hesabına sahip olmanın değerini görüyorum. Demek istediğim ispat calculi'nin çıkarım kurallarını haklı çıkarmak için biçimsel anlambilime ihtiyacımız olmayacak.

Teoremleri ispatlamak için yüzlerce yıldır matematikçiler tarafından kullanılan çıkarım kuralları olan "düşünce yasalarını" taklit eden bir hesabı tanımlayabiliriz. Böyle bir hesap zaten var: doğal çıkarım. Sonra bu hesaplamayı sağlam ve eksiksiz olarak tanımlardık.

Bu, yordayıcı mantığın biçimsel anlambiliminin yalnızca bir model olduğunun anlaşılmasıyla doğrulanabilir. Modelin uygunluğu ancak sezgisel olarak doğrulanabilir. Dolayısıyla, doğal çıkarımın resmi anlambilim referans alınarak sağlam ve eksiksiz olduğunu göstererek, doğal çıkarımı daha "doğru" yapmaz. Doğal çıkarım kurallarını sezgisel olarak doğrudan haklı çıkarsak iyi olurdu. Biçimsel anlambilim kullanarak sapma bize hiçbir şey vermez.

Ardından, doğal çıkarımın sağlıklı ve eksiksiz olduğunu tanımladıktan sonra, ürettikleri kanıtların doğal çıkarımlara çevrilebileceğini göstererek, diğer hesapların sağlamlığını ve tamlığını gösterebiliriz.

Yukarıdaki düşüncelerim doğru mu? Resmi anlambilim referansı ile ispat hesaplamanın sağlamlığını ve eksiksizliğini kanıtlamak neden önemlidir?

Küçük bir yorum ve daha ciddi bir cevap.

Birincisi, fiat tarafından tamamlanan doğal bir kesinti sistemi ilan etmek mantıklı değil. Doğal çıkarım kesin olarak ilginçtir çünkü doğal bir tutarlılık ve / veya bütünlük içsel bir kavramına sahiptir - yani kesim ortadan kaldırılması. Bu fantastik bir teoremdir ve IMO, tamamen ispat-teorik anlambilim sağlama girişimlerini tamamen haklı çıkarmaktadır (ve CH yazışmalarıyla, programlama dilinin anlambiliminde de operasyonel yöntemlerin kullanımını haklı çıkarmaktadır). Ancak bu tam anlamıyla ilginç çünkü mantığın doğru olması tutarlılıktan daha rafine bir fikir sunuyor. Teorik olarak kanıt yollara girmek, daha fazla iş yapmanız gerektiği anlamına gelir ancak karşılığında daha güçlü sonuçlar elde edersiniz.

Ancak, bazen kendi başına mantık olurikincil bir rol alır. (Aile) modelleriyle başlayabiliriz ve sonra bir mantık kullanarak onlar hakkında sözdizimsel konuşma yollarını arayabiliriz. Bir mantığın bir model ailesine göre sağlamlığı ve eksiksizliği, mantığın gerçekten de, modellerin sınıfı hakkında söyleyebileceğiniz hem ilginç hem de gerçek olan her şeyi yakaladığını gösterir. Modellerin mantıksal teorilerden daha ilginç olduğu durumların somut bir örneği program analizi ve model kontrolünde ortaya çıkar. Burada yapılacak normal şey, modelinizi bir programın yürütülmesi ve modelin de bir miktar zamansal mantık parçası haline getirmesidir. Bu dillerde söyleyebileceğiniz önermeler (kasıtlı olarak) korkunç derecede heyecan verici değildir - örneğin, boş gösterici referansları asla gerçekleşmez - ancak ilgisini çeken gerçek program çalışmalarına uygulandığı gerçeğidir.

Yukarıdaki cevapları arttırmak için başka bir bakış açısı daha ekleyeceğim. İlk olarak, bu yansımalar faydalıdır ve birçok insanın benzer fikirleri vardır. Felsefede buna bazen "Pro-teorik anlambilim" denir, Nuel Belnap, Dag Prawitz, Michael Dummett ve 60'lı ve 70'li yıllarda başkalarının Gentzen'in doğal indirgeme çalışmasına itiraz etmeleri için çalışmaya cazip gelir. Martin-Löf ve Jean-Yves Girard da yazılarında bu pozisyonun çeşitlerini öneriyor gibi görünmektedir. Ve çok geniş konuşursak, programlama dillerinde bu "sağlamlık tipine sözdizimsel yaklaşım" dır.

Mesele şu ki, mantık kurallarının ayrı bir anlamsal yorumlamaya gerek duymadığını kabul etseniz bile, kendilerinin haklı olduklarını söylemek ve bunu bırakmaları pek ilginç / yararlı değildir. Soru, resmi bir anlambilimin başardığı ve aynı şeyi daha az sapma ile başarmanın mümkün olup olmadığıdır. Bununla birlikte, model teoriyi analitik kanıt teorisi ile birleştirme projesi önemlidir ancak hala çözülememiştir, kategorik mantık, oyun semantiği ve Girard'ın "ludicleri" de dahil olmak üzere birçok farklı cephede aktif olarak takip edilmiştir. Örneğin, Charles sözü olanlara ilaveten, sahip modellerin başka niteliksel fayda somut sağlamak yeteneğidir counterexamples için sigara-Tremler ve sorular “doğrudan” bir yaklaşımla bunun nasıl anlaşılacağıdır. Birinciden esinlenilmiş bir cevap için, Michele Basaldella ve Kazushige Terui'nin "Mantıksal bütünlüğün anlamı üzerine" bölümüne bakın .

Resmi bir anlambilim, matematikteki terimlerin sözdizimsel kanıt kurallarından bağımsız olarak onları işlemek için bağımsız bir anlam sunar. Biçimsel bir anlamsızlık olmadan, kesinti kurallarının doğru olup olmadığını (sağlamlık) veya yeterince yete sahip olup olmadığınızı (eksiksizlik) nasıl belirtebilirsiniz?

Doğal kesinti gerçekleşmeden önce önerilen "düşünce yasaları" vardır. Aristoteles'in inançları böyle bir koleksiyondu. Onları sağlam ve eksiksiz olarak tanımlamış olsaydık, belki daha gelişmiş mantıksal teknikler geliştirmek yerine bugün hala onları kullanıyor olurduk. Buradaki nokta, eğer inançlar tamamen düşünce yasalarını yakalarsa , neden daha fazla mantık geliştirmemiz gerekiyor? Ya aslında tutarsızlarsa? Resmi ispat hesabı ve bunları birleştiren sağlamlık ve eksiksizlik kanıtları ile birlikte bir anlambilimine sahip olmak , böyle bir akıl yürütme sisteminin değerini değerlendirmek için bir ölçüm çubuğu sağlar. Artık yalıtılmış kalmayacaktı.

$X\lor \neg X$hatta gerçek bir mantık olmadığını kabul etmemiz gerektiğini ve fırsat için en uygun mantığı kullanarak çoğulcu bir tutum benimsememize rağmen. Bilgisayar bilimcilerinin kullanabileceği mantıkların çokluğu göz önüne alındığında (lineer mantık, ayırma mantığı, üst düzey yapıcı mantık, birçok modal mantık, hepsi klasik ve sezgisel çeşitlilikte), çoğulcu bir tavır benimsemek, muhtemelen çoğumuzun vermediği bir şeydir. Çünkü mantık belirli bir problemi çözmek için bir araçtır ve en uygun olanı seçmeye çalışırız. Resmi bir anlambilim, mantığın uygunluğunu değerlendirmenin bir yoludur.

Biçimsel bir semantiye sahip olmanın bir başka nedeni de, tahmülü hesaplamaktan daha fazla mantık olmasıdır. Bu mantıkların çoğu, belirli bir sistem hakkında düşünmek için tasarlanmıştır. (Modal mantık hakkında düşünüyorum). Burada sistemler sınıfı bilinir ve mantık daha sonra gelir (her ne kadar tarihsel olarak, bu doğru değildir). Yine, sağlamlık bize mantığın aksiyomlarının sistemin "davranışını" doğru bir şekilde yakalayıp yakalamadığını ve tamlığın da bize yeterli aksiyomun olup olmadığını söyler. Bir anlambilim olmadan, kesinti kurallarının yeterli olup olmadığını anlamayı nasıl bilebiliriz?

Tamamen sözdizimsel olarak tanımlanmış ve çalışmaya resmi bir anlam kazandırmak için halen devam eden bir örnek mantık, şifreleme protokolleri hakkında muhakeme için BAN mantığıdır. Mantıksal çıkarım kuralları makul görünüyor, öyleyse neden resmi bir anlambilim sağlıyor? Ne yazık ki, BAN mantığı bir protokolün doğru olduğunu kanıtlamak için kullanılabilir, ancak bu tür protokollere yönelik saldırılar olabilir. Bu nedenle , kesinti kuralları , en azından beklenen anlambilim açısından yanlıştır .

Süper soğutma ile aynı fikirdeyim, ancak bir mantığı karakterize eden bazı set kurallarından veya başka bir çıkarsama kuralından daha fazlasını istemek için daha pragmatik bir neden var: verilen bir çıkarsama kuralları kümesi, mantığı koyarken karşılaşılan sorunlara cevap vermede iyi olmama eğiliminde kullanmak.

Bir Hilbert sistemi olarak bir aksiyom listesi ve bir kaç kural listesiyle belirtilen bir mantığınız varsa, sistemde verilen bir teoremi ispatlamak ve genellikle teorik bir içgörü olmadan bunu anlamak zor olacaktır. Verilen bir teklifin sistemde kanıtlanamadığını ispatlayabilmek. Geleneksel modeller, tüm mantığı indüksiyonla tutan özellikleri kanıtlamak için iyidir.

Dört tür araç, çoğu mantığın çözmek istediği, en azından en çok anlamsal olana kadar olan sorunları çözmek için kullanışlıdır:

1. Hilbert tarzı sistemler, bir mantığın mantıksal sonuç ilişkisini karakterize etmek için iyidir ve genellikle rakip modal mantık gibi birkaç mantığı kategorize etmek için iyidir;
2. Tablo sistemleri karar algoritmalarını biçimlendirmek için iyidir. Tipik bir mantık karar verilebilirse, karar algoritması olarak sonlandırıcı bir tablo sistemi bulunabilir ve bir kimse yarı karar prosedürü sağlayan potansiyel olarak sonlanmayan bir tablo sistemi bulabilir. Eğer biri karar verilebilirliğin karmaşıklığına bir üst sınır göstermek isterse (yani bir mantığın karmaşıklık sınıfı), tablo sistemleri genellikle ilk bakışta görülür.
3. Gentzen'in doğal çıkarımı ve sıralı hesabı gibi analitik kanıt teorileri, muhakeme için iyi olan kanıtların temsillerini sunar ve bir teori için enterpolasyon gibi faydalı özellikleri kanıtlamak için yararlı olan analitik kanıt kavramını sunar.
4. Tarski tarzı model teorileri, mantığın mantık yürütmesi için genellikle daha iyidir, çünkü mantığın sözdizimsel ayrıntılarından neredeyse tamamen soyutlanırlar. Modal mantık ve küme teorisinde, bu mantıkçıların tablo ve analitik kanıt teorisine çok sınırlı ilgi gösterme eğiliminde oldukları sonuçları sunmakta çok daha iyidirler.

Süper soğuk algın sezgisel mantıktan bahsettiği için: dışlanan orta kuralın üstünlüğü olmadan, model teorisi çok daha karmaşık hale gelir ve analitik kanıt teorileri daha çok önem kazanır; Kategori teorisi gibi cebirsel teknikler, sözdizimsel karmaşıklıktan soyutlamak için tercih edilir hale gelir.