Optimal NP çözücüler

bir NP tam arama sorununu, örneğin SAT arama formunu düzeltin . Levin araması çözmek için bir anlamda optimal olan bir algoritma sağlar . Özellikle, algoritma " Bazı yanıtını doğru test edip yanıtlamadığını sonra girişindeki tüm olası programlarını çalıştır ." zaman karmaşıklığı ile çözen bir programı verilmişse, $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $L$ $X$ $P$ $x$ $P$ $y$ $P$ $X$ , zaman karmaşıklığı arasında tatmin $t_P(n)$ $t_L(n)$ $L$

t_{L} (n) < 2^{| P |} p (t_{P} (n))

$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$

burada , kesin hesaplama modeline bağlı olan sabit bir polinomdur $p$

'nin iyimserliği biraz daha güçlü bir şekilde formüle edilebilir. Yani, her için ve çözme programı söz ile sürede , zaman karmaşıklığı arasında girişlere sınırlı tatmin $L$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_L^M(n)$ $L$ $M$

t_{L}^{M} (n) < 2^{| Q |} q (n, t_{Q}^{M} (n))

$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$

burada sabit bir polinomdur. Kritik fark olsa bile polinom olabilmesidir. $q$ $t^M_Q(n)$ $P \neq NP$

nin bariz "zayıflığı" büyük faktör bu sınırda. Aynı formdaki bir sınırı ile tatmin eden bir algoritma varsa görmek kolaydır bir polinom ile değiştirildi $L$ $2^{|Q|}$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ daha sonra . Bunun sebebi, cevabı zor kodlayarak belirli bir örneğini çözen bir program olması olabilir . Benzer şekilde, bir alt üstel fonksiyonu ile değiştirilebilir $P = NP$ $Q$ $X$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ daha sonra üstel zaman hipotezi ihlal edilir. Ancak, aşağıdaki sorunun cevabı (benim için) daha az açıktır:

(Polinom hiyerarşi örneğin olmayan dejenerasyon, tek yönlü fonksiyon varlığı) gerektiğinde üstel zaman hipotezi ve diğer iyi bilinen varsayımlar varsayılarak, bir algoritma olduğu çözme her için st ve çözme programı söz ile sürede , zaman karmaşıklığı arasında girişlere sınırlı tatmin $A$ $X$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_A^M(n)$ $A$ $M$

$t_{A}^{M} (n) < f (| Q |) q (n, t_{Q}^{M} (n)) + g (| Q |)$ $t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$
burada polinom, alt-üstel ve isteğe bağlıdır $q$ $f$ $g$

Cevap olumluysa polinom olabilir mi? Büyüme oranı nedir (ETH altında açıkça en azından üstel)? Cevap negatifse, ETH yanlış fakat ise polinom var olabilir mi? $f$ $g$ $f$ $P \neq NP$

cc.complexity-theory time-complexity p-vs-np

— Vanessa
kaynak

Aşağıdaki algoritmayı düşünün (Levin'in algoritmasının bir çeşidi):

İlk algoritmayı paralel olarak çalıştırın. Ayrıca, tüm olası çözümleri tek tek çalıştıran kaba kuvvet algoritmasını paralel olarak çalıştırın. (Tüm algoritmaları aynı hızda çalıştırın.) $n$

Algoritmalardan biri bir çözüm bulduğunda durur.

İki durumu düşünün ( uzunluğunda bir giriş verilir ): $x$ $n$

, ilk algoritmalardan biridir. O zaman çalışma süresi $Q$ $n$ . $O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$
, ilk algoritmalarındanbiri değildir(dolayısıyla ). Daha sonra çalışma süresi, kaba kuvvet algoritmasının çalışma süresi ile sınırlanır. Çalışma süresinin $Q$ $n$ $n < 2^{|Q|}$ . $2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

Biz

t_{A}^{M} (n) \leq p o l y (n) \cdot t_{Q}^{M} (n) + 2^{2^{O (| Q |)}} .

$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$

(Burada, polinomdur ve çift üstel , biz dependance artırabilir üzerinde bağımlılığı daha da kötüye gitmesidir ile ). $f(n)$ $g(n)$ $n$ $g(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

— Yury
kaynak

İstediğim formda olmasa da, bir anlamda bir sınırı daha iyi karşılayan bir varyantı var. Yani kaba kuvvet algoritması kullanmak yerine sıradan Levin araması yapın. Bu, ~

2^{| Q |} t_{Q}^{M} (2^{| Q |})

$2^{|Q|}t^M_Q(2^{|Q|})$

— Vanessa